Aperiodicity parameters of reoccurrence intervals of large earthquakes in the Brownian passage time model based on paleo-earthquake data
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摘要: 在我国大陆广泛搜集到的45个地震序列的基础上，首先利用最大似然估计法计算出不同样本量地震序列的变异系数值，然后与其对应的断层源参数作相关性分析，并对具有不同样本量地震序列中的变异系数值进行标准化处理，进而计算得到一个通用的变异系数值（αc=0.37）。相关分析结果显示变异系数值与断层的长度和滑移速率呈负相关，在此基础上本文对通用变异系数值（αc=0.37）的应用进行了分析，通过对αc进行一倍标准差运算得到3个变异系数值（0.21，0.37，0.53），分别适用于特征性具有明显差异的活动断层.Abstract: Based on the 45 seismic sequences collected in Chinese mainland, the maximum likelihood estimation method is used to calculate the variation coefficient of earthquake sequences with different sample size, and the correlativities with the parameters of the corresponding fault source are carried out, and then the estimated values are standardized. Finally, a general value αc=0.37 of aperiodicity is given. The results of the correlation analysis show that the variation coefficient is negatively correlated with the length of the fault and the horizontal slip rate, so the application of the general aperiodicity value （αc=0.37） is analyzed. The result show that the three α values （0.21, 0.37, 0.53） obtained by performing standard deviation operation to αc are applied to the active faults with significantly differences in characteristics.
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Keywords:
- recurrence interval /
- aperiodicity parameter /
- correlation /
- normalization
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引言
地震预测的实践离不开对前兆现象的分析，地震前兆现象往往可以通过物理量的异常体现出来（曾融生，1984），而这些物理量则必须是可观测的基本物理量，例如地壳内部的形变场、电磁场、温度场、重力场和流体压力等。这些物理量同震源过程之间的关联性成为震源物理的一个重要研究方向（Scholz，2002）。事实上，由于缺乏必要的观测手段和对发震断层破裂过程的深入了解，目前有关地震预测的研究仍然处于初步探索阶段。构造地震的发生同断层内部的剪切形变相关，弹性回跳理论则给出了断层摩擦失稳的简单图像（Stein，Wysession，2003）：起初，断层两侧加载的剪应力较小，摩擦力阻止断层发生相对滑动，断层处于闭锁状态；在长时间尺度的远场剪切应力加载下，断层两侧的剪切形变能不断地累积，剪切应力也随之增加；当剪切应力超过断层本身的摩擦强度时，断层两侧发生突发的相对滑动，部分形变能以地震波的形式辐射至地表，从而造成相应的地表运动，形成地震；地震发生后，断层滑动不会立刻停止，而是以较大但逐渐减小的速度继续滑动，形成余震或震后余滑。当断层上的滑动停止后，剪切形变能再次逐步累积，这就形成了所谓的断层运动“黏滑机制”，该机制是在库仑简单摩擦力学的基础上提出的（Byerlee，1970，1978）。基于黏滑机制，现今广泛认可的地震形成的控制因素可归结为：未来发震断层的构造剪应力加载速率、断层本身的摩擦性质及周边地震对未来发震断层的影响（Stein，1999）。如果区域应力场出现扰动（包括静态和动态应力变化，地壳内部流体压力的变化等），那么断层上的静态应力加载或卸载可引起断层摩擦强度的变化，从而导致断层失稳。
对于发震断层的演化过程，目前学术界比较一致的认识是，在断层完整演化过程中，断层的滑动至少经历了四个明显不同的阶段（Stein，Wysession，2003）：闭锁阶段、自加速阶段、同震相阶段和震后松弛/滑移阶段。受地震观测数据的限制，我们对于每个阶段中的断层摩擦动力学过程及其复杂性知之甚少。岩石力学实验表明，断层摩擦过程与断层内部的滑移速率和状态有直接关系。速率和状态相依赖的摩擦本构关系（rate- and state-dependent friction law，简写为RSF定律）已普遍用于发震断层孕育、成核及发震深度约束的研究中（Scholz，1998）。在该本构关系的框架下，目前有关断层演化、地震复发周期以及触发地震成因机制的数值分析和理论研究在全球范围内受到了广泛关注（Perfettini，Avouac，2004a，b；Kaneko et al，2010 ；Barbot et al，2012 ；Kame et al，2013 ）。而关于静态应力扰动后断层失稳的时间提前或推后的论述则最早来自Dieterich （1992，1994）余震触发机制的解析模型。在实验室中，岩石摩擦实验是研究断层力学和震源物理的重要手段，结合摩擦定律和断层模型的传统低速岩石摩擦实验早已被用于地震成因机制等的研究。基于RSF定律，虽然前人对断层的演化和震前滑移失稳开展了大量的模拟计算与分析，然而大多数研究未考虑滑移过程中摩擦生热对断层演化的影响。近年来，断层力学领域又兴起了岩石高速摩擦实验，用于模拟断层同震阶段的快速滑动。模拟实验表明，断层的高速滑移存在明显的摩擦生热效应，大量的摩擦热可使断层区域温度上升，同时断层带物质也经历了一系列复杂的物理化学变化（姚路，马胜利，2013）。事实上，断层滑动过程中产生的摩擦热可影响断层的时空演化（Kato，2001；Bizzarri，2010），例如使断层面的温度上升、改变断层内部的应力状态和地壳内部的流体压力，以及使岩石发生塑性变形等。从物理机制上讲，摩擦生热造成的断层面温度上升对断层演化最显著的影响是使其演化进程发生改变，最受关注的现象是围绕发震断层在内的区域地震活动性的显著变化（King，Cocco，2001）。因此，地震成核过程（断层自加速至失稳的阶段）中温度上升的幅度以及如何进一步影响断层内部和周边的流体压力的变化，直接关系到地震前兆观测量的取舍。换句话说，地震成核过程中的摩擦生热和温度上升及其所形成的区域热流变化是否能够成为地表可观测量，是我们必须回答的问题。与以往考虑摩擦热对断层演化影响的研究（Kato，2001）相比，本文的创新点在于，进一步推进温度上升对断层失稳作用的研究，并定量地讨论了考虑摩擦热后，不同参数对断层和地震的影响。另外，研究断层演化过程中的摩擦生热和温度变化具有重要的科学意义。在简单断层模型中，滑块底部与接触面之间的摩擦过程可生成大量摩擦热能，直接导致接触面的温度升高，进而使得断层滑动/失稳时间提前，地震循环周期减小。若能将RSF模型应用到实际问题的探讨中，可以加深对地震成因机制的了解。我们推测，在断层面相对滑动过程中生成的摩擦热能，会使断层周边区域的温度升高、宏观滑动提前。进一步讲，如果摩擦过程中生成的热量很多，断层面温度升高很多，以至超过岩石的熔点，则会导致岩石的状态发生改变，使其由固态转化为熔融状态，进而造成断层的性质和结构等发生变化。
结合一维弹簧-滑块-断层模型，本文从Chester和Higgs总结出的摩擦本构关系（Chester，Higgs，1992；Chester，1994）出发，拟开展有关断层地震成核过程至动态失稳过程的数值模拟方法的研究。研究的重点主要为：① 建立依赖时间的断层摩擦运动的准静态模型；② 采用Dormand-Prince算法（Kimura，2009）实现对一维弹簧-滑块-断层模型的数值求解；③ 探讨摩擦生热过程对断层演化的影响；④ 分析RSF摩擦本构关系中临界滑移距离Dc对生热过程的影响；⑤ 分析有效正应力σ对生热过程的影响。
1. 模型与方法
1.1 一维准静态断层模型
图1a给出了在远场剪应力和正应力作用下，断层面及其周围介质的剪切形变。一方面，根据摩擦定律，断层面上的摩擦剪应力可以表示为
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图 1 断层力学模型（a） 一维断层模型；（b） 一维弹簧-滑块-断层模型Figure 1. Schematic illustration of the mechanical behavior of earthquake fault（a） 1D fault model；（b） 1D spring-slider-fault model$\tau {\text{＝}}\mu \sigma{\text{，}} $
(1) 式中，μ为断层面上的摩擦系数，τ和σ分别为作用于断层面上的摩擦剪应力和有效正应力；另一方面，根据线弹性理论的应力-应变关系，断层内部加载的剪应力速率表达式为
$\dot \tau {\text{＝}}\frac{G}{H}\left({{{\dot \delta }_0} {\text{－}} \dot \delta } \right){\text{，}} $
(2) 式中，G为介质的剪切模量，H描述可容许的断层最小尺度，δ0表示t0时刻板块边界的位移，δ表示t时刻断层内部的滑动位移，·表示变量关于时间的微分。如果令G/H＝k，那么式（2）可写为
$\dot \tau {\text{＝}} k\left({{{\dot \delta }_0} {\text{－}} \dot \delta } \right){\text{，}} $
(3) 式（3）构成了一维弹簧-滑块-断层模型的控制方程，该模型如图1b所示。实际上，k为1D弹簧-滑块-断层模型中弹簧的刚度系数，一般表示为（Dieterich，1992）
$k {\text{＝}} \eta \frac{G}{l}{\text{，}} $
(4) 式中：l为断层的特征尺度，对于圆盘模型而言，l指断层面的半径；η为描述断层几何形状的几何参数，其取值一般接近于1 （Dieterich，1992）。
因此，对图1a和式（2）所描述的断层运动的研究，可以转化为对图1b和式（3）所表示的一维弹簧-滑块-断层系统的稳定性分析。一维弹簧-滑块-断层模型，等价于空间上滑动和应力均匀分布的断层模型，是实际断层的一阶近似，能够突出反映断层演化过程中的基本物理特征。因此，在本研究中，我们选择简单而具有代表性的一维弹簧-滑块-断层模型。
1.2 RSF模型
具有速率和状态依赖性的摩擦定律定律（RSF）是通过大量岩石力学实验结果所总结出的经验本构关系。该定律定量地刻画了断层内部的摩擦规律，也从物理上阐明了断层内部摩擦的复杂性。目前，RSF定律已成为研究断层演化、地震成核及其动态破裂过程等震源物理现象的基础理论，并被广泛用于描述震源行为的系统性变化（Marone，1998）。RSF定律的一般性方程可写为（Gu et al，1984 ；Segall，2010）：
$ \frac{\tau }{\sigma }{\text{＝}}\mu \left({\dot \delta{\text{，}}\!\!\! {\theta _1}{\text{，}}\!\!\! {\theta _2}{\text{，}}\!\!\!\cdots{\text{，}}\!\!\! {\theta _i}} \right){\text{，}} $
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$ \left\{ \begin{gathered} {\theta _1}{\text{＝}}{G_1}\left({\dot \delta{\text{，}}\!\!\! {\theta _1}{\text{，}}\!\!\!{\theta _2}{\text{，}}\!\!\! \cdots{\text{，}}\!\!\! {\theta _i}} \right){\text{，}} \\ {\theta _2}{\text{＝}}{G_2}\left({\dot \delta{\text{，}}\!\!\! {\theta _1}{\text{，}}\!\!\!{\theta _2}{\text{，}}\!\!\! \cdots{\text{，}}\!\!\! {\theta _i}} \right) {\text{，}} \\ \vdots \\ {\theta _i}{\text{＝}}{G_i}\left({\dot \delta{\text{，}}\!\!\! {\theta _1}{\text{，}}\!\!\! {\theta _2}{\text{，}}\!\!\! \cdots{\text{，}}\!\!\! {\theta _i}} \right){\text{.}} \\ \end{gathered} \right. $
(6) 为了使得计算和分析更简明，通常采用单一状态变量θ下的演化定律。目前最常用的两个定律分别为慢度演化本构定律（rate- and state-dependent friction law with Dieterich-Ruina state evolution law，简写为Dieterich-Ruina-RSF定律）和滑动演化本构定律（rate- and state-dependent friction law with Ruina state evolution law，简写为Ruina-RSF定律）（Segall，2010；Bhattacharya，Rubin，2014）。其典型的数学公式可分别写为
$ \left\{ \begin{aligned} & \mu {\text{＝}} {\mu _0} {\text{＋}} a\ln \left({\frac{{\dot \delta }}{{{{\dot \delta }_*}}}} \right) {\text{＋}} b\ln \left({\frac{{{{\dot \delta }_*}\theta }}{{{D_{\rm{c}}}}}} \right){\text{，}} \\ & \dot \theta {\text{＝}} 1 {\text{－}} \frac{{\dot \delta \theta }}{{{D_{\rm{c}}}}} {\text{，}} \\ \end{aligned} \right. $
(7) $ \left\{ \begin{aligned} & \mu {\text{＝}} {\mu _0} {\text{＋}} a\ln \left({\frac{{\dot \delta }}{{{{\dot \delta }_*}}}} \right) {\text{＋}} b\ln \left({\frac{{{{\dot \delta }_*}\theta }}{{{D_{\rm{c}}}}}} \right) {\text{，}} \\ & \dot \theta {\text{＝}} {\text{－}} \frac{{\dot \delta \theta }}{{{D_{\rm{c}}}}}\ln \left({\frac{{\dot \delta \theta }}{{{D_{\rm{c}}}}}} \right) {\text{，}} \\ \end{aligned} \right. $
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$ {\mu _{{\rm{ss}}}} {\text{＝}} {\mu _0} {\text{＋}} \left({a {\text{－}} b} \right)\ln \left({\frac{{\dot \delta }}{{{{\dot \delta }_*}}}} \right){\text{.}} $
(9) 由式（9）可以看出，当a－b≥0时，断层的摩擦过程处于速度强化状态，此时断层的滑动是稳定的，而当a－b＜0时，断层的摩擦过程处于速度弱化状态，断层的滑动可能是条件稳定的，也可能是不稳定的，与有效正应力有关（Scholz，1998）。结合式（3），（7）或（8），对于图1b所描述的一维弹簧-滑块-断层系统，稳定性分析的结果表明（Ruina，1983），弹簧的临界刚度为
${k_{\rm{c}}} {\text{＝}} \frac{{\left({b {\text{－}} a} \right)\sigma }}{{{D_{\rm{c}}}}}{\text{，}} $
(10) 为了使断层能发生宏观失稳，k必须满足k≤kc （Dieterich，1992），其中a－b＜0；若k＞kc，滑块则在小扰动条件下保持稳定地滑移。因此，根据式（4）和式（10），断层成核的最小尺度rc为（Dieterich，1992；Segall，2010）
${r_{\rm{c}}} {\text{＝}} \frac{{G\eta {D_{\rm{c}}}}}{{\left({b{\text{－}} a} \right)\sigma }}{\text{，}}$
(11) 实际上，断层成核的尺度问题比前人的结论更加复杂（Ampuero，Rubin，2008），而断层成核的时间尺度约为（Dieterich，1994；Beeler，Lockner，2003）
${t_{\rm a}} {\text{＝}} \frac{{a\sigma }}{{k{{\dot \delta }_0}}}.$
(12) 1.3 Chester-Higgs模型
Dieterich-Ruina-RSF定律和Ruina-RSF定律是两个研究得最详细、应用最广泛的摩擦定律，但均未考虑摩擦生热造成的断层面温度上升对摩擦强度的直接影响。在对断层演化过程的数值模拟研究中，如果考虑温度的影响，一般均直接假设在孕震断层中a－b＜0，但与摩擦生热造成的温度上升无关。近期，Hatano （2015）从原子级的微观角度阐述了RSF定律中摩擦参数与所处环境的关系，认为a值和b值均与压力成反比，而a值又直接与温度成正比。但在应用层面上，仍然无法将摩擦生热过程对a值的影响嵌入到数值模型中去。所幸的是，考虑到上述模型的局限性，Chester和Higgs （Chester，Higgs，1992；Chester，1994）通过岩石力学实验，在原有RSF定律的基础上，总结出了断层面温度变化对摩擦强度的影响，称之为Chester-Higgs模型。为了便于同前述的滑移定律作比较，将其改进为
$ \left\{ \begin{aligned} & \mu {\text{＝}} {\mu _{\rm{0}}} {\text{＋}} a\left[ {\ln \left({\frac{{\dot \delta }}{{{{\dot \delta }_*}}}} \right) {\text{＋}} \frac{{{Q_a}}}{R}\left({\frac{1}{T} {\text{－}} \frac{1}{{{T_*}}}} \right)} \right] {\text{＋}} b\varTheta {\text{，}} \\ & \dot \theta {\text{＝}} {\text{－}}\frac{{\dot \delta }}{{{D_{\rm{c}}}}}\left[ {\varTheta {\text{＋}} \ln \left({\frac{{\dot \delta }}{{{{\dot \delta }_*}}}} \right) {\text{＋}} \frac{{{Q_b}}}{R}\left({\frac{1}{T} {\text{－}} \frac{1}{{{T_*}}}} \right)} \right] {\text{，}} \\ \end{aligned} \right. $
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1.4 McKenzie-Brune摩擦生热模型
由于断层摩擦生热，断层面的温度随时间而变化，式（13）中，t时刻断层的温度可通过McKenzie-Brune模型（McKenzie，Brune，1972）来表达，即
$ T {\text{＝}} {T_{{\rm{ini}}}} {\text{＋}} \frac{1}{{2\rho c\sqrt {{{\text{π}}}\kappa } }}\int_0^t {\exp \left[ { {\text{－}} \frac{{{x^2}}}{{4\kappa \left({t {\text{－}} t'} \right)}}} \right]} \frac{{\tau \left({t'} \right)\dot \delta \left({t'} \right)}}{{\sqrt {t {\text{－}} t'} }}{\rm{d}}t'{\text{，}} $
(14) 式中，Tini为t＝0时刻的初始温度，ρ为介质的密度，c为介质的比热容，κ为介质的固体热扩散系数，x为断层滑移区的宽度。由式（14）可以看出，McKenzie-Brune模型中，均匀固体内部的温度是宽度x和时间t的函数。采用Kato （2001）提出的近似，将积分离散后转化为求和，并忽略断层宽度，即假设断层是一个面，令x＝0，那么断层面上的温度可由温度计算式（14）改写为
$ T {\text{＝}}{T_{{\rm{ini}}}} {\text{＋}} \frac{1}{{\rho c\sqrt {{{\text{π}}}\kappa } }}\sum\limits_{j {\text{＝}} 1}^n {\tau \left({{t_{j {\text{－}} 1}}} \right)\dot \delta \left({{t_{j {\text{－}} 1}}} \right)} \left({\sqrt {t {\text{－}} {t_{j {\text{－}} 1}}} {\text{－}} \sqrt {t {\text{－}} {t_{j}}} } \right){\text{，}} $
(15) 式中，t0＝0，tn＝t。
1.5 数值模拟方法
结合式（1），（3），（13）和（15），通过数值求解的方法实现对断层摩擦过程的模拟，并由此获得相对应的温度变化特征。本文采用了四阶变步长的Dormand-Prince算子（Kimura，2009），该方法计算精度高、速度快，已被应用于Matlab的常微分方程数值求解中。Dormand-Prince算法的具体形式和优化程度可参考附录A。
2. 结果分析
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表 1 一维弹簧-滑块-断层模型参数的定义和取值Table 1. Definitions and values of parameters for 1D spring-slider-fault model参数 含义 取值 参数 含义 取值 a 直接影响系数 0.012 ${\dot \delta }$ u
失稳速率 1 m/s b 演化影响系数 0.017 T* 参考温度 550 K σ 有效正应力 100—1 000 MPa Tini 初始温度 550 K Dc 临界滑移距离 0.01—10 cm Qa 直接影响的表面激活能 105 J/mol k/kc 断层刚度与临界刚度的比值 ≈1 Qb 演化影响的表面激活能 105 J/mol μ0 T＝T*时以 ${\dot \delta} $ ＝
${\dot \delta }$ *稳定滑动的摩擦系数
0.6 R 气体常数 8.314 μini 初始摩擦系数 0.623 P 介质密度 2 600 kg/m3 ${\dot \delta} $ 0
远场加载速率 3.5 cm/a c 介质比热 1 000 J/（kg·K） ${\dot \delta }$ *
参考速率 3.5 cm/a κ 介质固体热扩散系数 10−6 m2/s ${\dot \delta }$ ini
初始速率 0.035 cm/a 2.1 各物理量的演化特征
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图3给出了小时间尺度（失稳前2天左右）各物理量随时间的变化。比较图2与图3，我们可以看出明显差别。在大时间尺度内（图2），即从初始时刻到断层失稳的两年内，忽略温度与考虑温度情况下变量随时间的变化曲线几乎完全重合，可以认为摩擦生热和温度变化对断层演化的影响并不明显。但是从小时间尺度来观察（图3），即从断层失稳的前两天到断层失稳这段时间，在考虑温度影响的情况下，断层失稳的时刻明显早于忽略温度影响的情况。若将滑块滑动速率达到最大值的时刻看作宏观地震发生的时刻，根据模拟结果，在忽略温度影响时，断层失稳发生在第1年的第355天6时42分；而当考虑温度影响的情况时，断层失稳发生在第1年的第355天1时22分，二者的失稳时刻相差5小时19分53秒。
综合上述分析，可以得出摩擦生热对断层时间演化的作用过程，即断层在滑动过程中相互摩擦，产生大量热能，使接触面温度升高，导致摩擦系数开始迅速降低、摩擦力开始迅速减小的时刻提前，从而使断层失稳滑动提前发生。该过程可以简单概括为摩擦生热→断层面温度上升→摩擦系数、摩擦力减小更早→断层滑动提前。
需要注意的是，断层的滑动速度与接触面的温度之间是相互影响、相互作用的。一方面，由于摩擦力和摩擦热，断层的相对滑动使接触面温度升高，并且速度越大，摩擦产生的热量越多，温度上升越明显；同时，温度上升又会降低摩擦系数、摩擦力，使滑动速度增加得更快，即温度对滑动速率具有反馈作用。从图3d中还可以看出，在忽略温度影响的情况下（Ruina模型，式（8）），摩擦生热造成的温度上升值更大，可以达到采用Chester-Higgs模型计算值的两倍，但本文对此类温度上升影响断层演化进程的问题不作讨论。
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图 3 小时间尺度下失稳前后断层模型的演化（a） 滑移速率${\dot \delta}$ 演化图；（b） 摩擦系数μ演化图；（c） 状态变量Θ演化图；（d） 温度T演化图Figure 3. Simulated time histories of fault evolution from small time scaleThe evolution of system around the onset of instability is shown. Figs. （a），（b），（c） and （d） show the evolutions of slip rate${\dot \delta}$ ，frictional coefficient μ，state variable Θ and temperature change T，respectively2.2 滑动速率、摩擦系数、位移相图
由于忽略温度影响和考虑温度影响两种情况下断层失稳的时刻不同，失稳前的滑动速率和摩擦系数数值大小不容易根据变量随时间变化的图像直接比较，但可以根据相图进行对比，得到某一变量大小相同时，其它变量的相对大小。但要注意，两种情况下某一变量值相同时，它们的相图所对应的时刻一般不同。滑动速率、摩擦系数和位移中任意两个变量之间的相图如图4所示。为了便于比较，该图所对应的参数值与图1，2一致。
摩擦系数-滑动速率相图和摩擦系数-位移相图的变化趋势均可以分为两个阶段，摩擦系数随速率或位移先迅速增大，再缓慢下降；图中上升段虽然长度较短，但其所对应的地震周期较长，而下降段虽然长度较长，但实际上只对应一个瞬间，即断层失稳滑移发生的时刻。在第一个阶段，考虑温度与不考虑温度情况下任意两个变量间的相图曲线几乎完全重合；在第二个阶段的后半段，即失稳滑移发生时，两条曲线的趋势才开始出现明显差别，即对于某一相同的速度或位移，考虑温度时的断层具有更大的摩擦系数或摩擦剪切强度，并且这一特点在摩擦系数-滑动速率相图中体现得更为明显。Kato （2001）的数值模拟结果也证实了该结论。需要强调的是从图4a中可以看到，与直观的理解不同，摩擦生热所导致的温度上升并未使得断层摩擦强度小于未考虑温度影响情形的摩擦强度，当滑移速率增大时考虑温度情形的摩擦系数并未进一步下降，而近似为一个常量。
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图 4This page contains the following errors:
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（a） 摩擦系数-滑动速率相图；（b） 摩擦系数-位移相图；（c） 位移-滑动速率相图Figure 4.This page contains the following errors:
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断层演化过程中，若将剪应力的最大值与终值之差定义为应力降，那么应力降的计算公式可写为
$\Delta \tau {\text{＝}} \sigma \left({{\mu _{\max }} {\text{－}} {\mu _{\min }}} \right){\text{，}} $
(16) 式中，Δτ表示断层失稳前后的应力降，μmax和μmin分别为断层失稳前后摩擦系数的最大值和最小值。同时，可定义断层半径rc为（Dieterich，1992）
$ {r_{\rm{c}}} {\text{＝}} \frac{{7{{\text{π}}}}}{{24}}\frac{{G{D_{\rm{c}}}}}{{\left({b {\text{－}} a} \right)\sigma }}{\text{，}} $
(17) 该式相当于式（11）中与断层面形状有关的几何参数η取值为7π/24，对应于断层面为圆形的情况。利用应力降Δτ和断层半径rc，可以进一步计算矩震级（陈运泰，2003），即
$ {M_{\rm{W}}} {\text{＝}} \frac{2}{3}\lg {M_0} {\text{－}} 6.033{\text{，}} $
(18) 式中，MW表示矩震级，M0为地震矩，单位为N·m，对于半径为r的圆盘型断层模型，地震矩可由式M0＝16/7Δτr3计算得到。通过计算可以得到，忽略温度和考虑温度时断层的应力降分别为2.67 MPa和1.94 MPa，二者的差值约为0.73 MPa，此时断层半径均为137.44 m，故对应的矩震级分别为2.77和2.67。由此可见，考虑温度影响情况下的断层具有较小的应力降和略小的震级。
2.3 温度改变量与滑移速率或滑动位移的相图
图5是关于温度改变量的相图，观察图像可以看出滑移速率和滑动位移对断层温度的影响，而在忽略温度的情况下，温度变化对断层演化的影响很微弱，因此忽略温度时的曲线未在图中表示。该图的参数设置也与图1，2相同。
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图 2 大时间尺度下断层模型的演化图（a） 滑移速率${\dot \delta}$ ；（b） 摩擦系数μ；（c） 状态变量Θ；（d） 温度TFigure 2. Simulated time histories of fault evolution from large time scale（a），（b），（c） and （d） show the evolutions of slip rate${\dot \delta}$ ，frictional coefficient μ，state variable Θ and temperature change T，respectively由图5a温度改变量-滑移速率相图可以看出，当滑动速度增加缓慢时，温度随速度上升快；当断层失稳前滑动速度迅速增大时，温度随速度上升缓慢。产生此现象的原因主要有两个：首先，摩擦生热或温度上升的快慢主要与滑动速率和摩擦剪应力这两个因素有关，断层失稳前虽然滑动速率增加，但是摩擦系数骤然降低，摩擦力迅速减小，因此产生的摩擦热减少，温度上升变慢；其次，断层失稳发生于同震相阶段，该阶段持续时间非常短，而断层温度升高也需要一定时间。
由图5b温度改变量-滑动位移相图可以看出，当位移小于0.02 m时，温度随位移的增大变化很小；当位移介于0.02—0.027 m之间时，温度才开始随位移有较明显的增大；当位移达到0.027 m，即断层发生失稳时，温度随位移迅速增大，温度改变量可接近400 K。
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图 5 与温度改变量有关的相图（a） 温度改变量-滑动速率相图；（b） 温度改变量-位移相图Figure 5. Phase diagram related to temperature change（a） Phase diagrams of slip rate versus temperature change; （b） Slip displacement versus temperature change2.4 有效正应力σ对断层演化过程的影响
将临界滑移距离Dc的取值设置为固定值1 cm；同时设置有效正应力σ的取值为100—1 000 MPa，其它参数的设置遵从表1。运行程序并对比所得结果，得到各变量随时间的变化图像，如图6所示。有效正应力对断层演化的影响可以概括为三点：首先，当正应力在100—1 000 MPa范围内取值时，断层滑移速率均能达到1 m/s，即发生失稳滑移。随着有效正应力的增大，断层失稳发生的时刻提前，说明有效正应力越大，断层滑移越不稳定。不过，这种提前是小幅度的，即在大时间尺度上几乎看不出来，但在小时间尺度上比较明显，并且失稳时刻的提前量与有效正应力的增加量成正比。这一现象可以通过严格的公式推导进行证明和解释，详细分析将在讨论部分给出；其次，摩擦系数和状态变量在断层失稳时突然减小，若将断层滑移速率为1 m/s时所对应的摩擦系数和状态变量的值定义为最小值，那么正应力增大也会使断层失稳时的摩擦系数和状态变量的最小值非线性增大，低正应力时摩擦系数和状态变量的最小值增加快，高正应力时摩擦系数和状态变量的最小值增加慢。具有较大正应力的断层，其失稳前后的应力降较小；第三，有效正应力越大，断层失稳时的温度越高，且最高温度与有效正应力呈线性关系。在第二点中提到，正应力越大，断层失稳时的摩擦系数越大，又由摩擦准则τ＝μσ可知，此时摩擦力越大，那么断层滑动时产生的摩擦热越多，因此对于具有较大正应力的断层，失稳前断层温度更高。
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图 6 不同有效正应力对应的断层模型的演化（小时间尺度）（a） 滑移速率${\dot \delta}$ 演化图；（b） 摩擦系数μ演化图；（c） 状态变量Θ演化图；（d） 温度T演化图Figure 6. Simulated time histories of fault evolution corresponding to different effective normal stresses （small time scale）Figs. （a），（b），（c） and （d） show the evolutions of slip rate${\dot \delta}$ ，frictional coefficient μ，state variable Θ and temperature change T，respectively我们再分别从应力降、断层半径和矩震级3方面定量地分析有效正应力σ对断层演化的影响，3个地震参数分别由式（16），（17）和（18）计算得到，计算结果如图7所示。可以看出，断层失稳前后的应力降随正应力近似线性增大，变化范围为1.05—7.63 MPa；断层半径与正应力成反比，当正应力在100—1 000 MPa范围内增大时，断层半径在274.89—27.48 m范围内减小；作用于断层上的正应力越大，对应的矩震级越小。
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图 7 有效正应力对应力降Δτ （a）、断层半径rc （b）、地震矩M0 （c）和矩震级MW （d）的影响Figure 7. Influences of effective normal stress on variation of stress drop Δτ （a），fault radius rc （b），seismic moment M0 （c） and moment magnitude MW （d）2.5 临界滑移距离Dc对断层演化过程的影响
由式（11）可以看出，临界滑移距离Dc可以直接影响错动成核尺度的大小，因此研究Dc对断层演化的影响对估计地震断层的大小具有一定意义。与上类似，此处固定有效正应力σ的取值为200 MPa；同时改变临界滑移距离Dc的取值，使其在0.01—10 cm范围内变化，其它参数的设置遵从表1。运行程序并对比所得结果，得到各变量随时间变化的图像（图8）。临界滑移距离对断层演化的影响可以从以下四个方面进行分析：① Dc越大，断层失稳的时刻越迟。与正应力影响相同的是，失稳时刻的推后量与Dc的增加量成正比。与正应力影响不同的是，Dc对断层失稳时刻的影响十分显著，其造成的地震周期变化在大时间尺度上就可以很容易地看出来。本文已经通过严格的数学公式推导验证了这个结论的正确性，详细结果在讨论部分给出；② 具有不同Dc的断层，失稳前后摩擦系数的最大值和最小值均相近，也就是说失稳前后的应力降基本一致，震源机制相似；③ 当Dc较小时，随着Dc的增大，断层最高温度迅速增大，当Dc逐渐变大时，断层最高温度增加越来越缓慢，当Dc≥5 cm时，断层最高温度不再变化。这个结论是具有实际意义的，实验室测得的Dc通常在0.01 cm左右，此时断层温度较低，其产生的热流或温度变化很难被现有的仪器检测出来. 而实际上，Dc存在尺度效应，天然断层的Dc比实验室模拟断层带的Dc大很多，野外估计值可比实验室模拟值大几个数量级（Raleigh et al，1976 ；Byerlee，1978），此时断层可以上升到很高的温度；④ Dc对状态变量最小值的影响与其对断层温度最大值的影响类似，均为非线性的，对于较小的Dc，其变化对状态变量的影响更为显著。
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图 8 不同临界滑移距离所对应的断层模型的演化（大时间尺度）（a） 滑移速率${\dot \delta}$ 演化图；（b） 摩擦系数μ演化图；（c） 状态变量Θ演化图；（d） 温度T演化图Figure 8. Simulated time histories of fault evolution corresponding to different critical slip distances （large time scale）Figs. （a），（b），（c） and （d） show the evolutions of slip rate${\dot \delta}$ ，frictional coefficient μ，state variable Θ and temperature change T，respectively同样的，我们再分别从应力降、断层半径和矩震级三方面，定量地分析临界滑移距离Dc对断层演化的影响。根据式（16），（17）和（18）计算得到的结果如图9所示。由图像可以看出，断层失稳前后的应力降随Dc的增大而减小，但变化并不剧烈，不同Dc所对应的应力降均在2 MPa左右；断层半径与Dc成正比，当Dc在0.01—10 cm范围内增大时，断层半径在1.37—1 374.45 m范围内线性增大；断层的Dc越大，对应的地震矩和矩震级越大，并且地震矩和矩震级随Dc的变化特征与失稳时断层最高温度随Dc的变化特征相似，即当Dc较小时，矩震级随Dc的增大增长较快，随着Dc的增大，矩震级增加越来越缓慢，当Dc≥5 cm时，矩震级增加十分缓慢。
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图 9 临界滑移距离对地震参数的影响（a）—（d）分别为应力降Δτ、断层半径rc、地震矩M0和矩震级MW随临界滑移距离Dc的变化Figure 9. Influences of critical slip distance on seismic parametersFigs.（a） to （d） are variation of stress drop Δτ，fault radius rc，seismic moment M0 and moment magnitude MW plotted against critical slip distance Dc3. 讨论
本文的研究主要采用Chester-Higgs模型中考虑温度影响的RSF定律和McKenzie-Brune摩擦生热模型中计算温度的公式，利用一维弹簧-滑块-断层模型，通过四阶变步长的Dormand-Prince算法，对断层滑移进行数值模拟，从而探讨摩擦生热过程对地震断层演化的影响。在这里，我们分别对一维弹簧-滑块-断层模型、Dormand-Prince算法、断层失稳时间等方面作简要的讨论。
结合速度-状态摩擦本构定律，利用一维弹簧-滑块-断层模型，可以研究单自由度系统的动态响应（Rice，Tse，1986；Gu，Wong，1991；He et al，2003 ）。在Dieterich和Ruina总结出统一形式的速度-状态摩擦定律之前，已经有大量研究人员对与速度和状态有关的摩擦定律和单自由度系统进行了研究，例如Rice和Tse （1986）对比了经典的静摩擦-动摩擦定律和两种与速度和状态相关的单状态变量摩擦定律，并成功地对黏滑现象的完整周期进行了数值模拟。在速度-状态摩擦定律被广泛接受后，又开展了大量关于应力降与加载速度、刚度、摩擦参数、地震周期等关系的研究工作（Gu，Wong，1991；He et al，2003 ）。
一维弹簧-滑块-断层模型的应用十分普遍，在研究中可以提供理想的物理背景和实验环境。首先，一维弹簧-滑块-断层模型等价于空间上滑动和应力均匀分布的断层模型，它可以用来研究不同情况下断层模型的一阶近似情况，能够突出基本物理特征，进而为我们进一步研究震源机制提供依据；其次，一维弹簧-滑块-断层模型计算简单，有助于我们建立统计模型。一维弹簧-滑块-断层模型看似简单，却包含了地壳内部断裂过程的三个基本要素：① 滑块与地面之间的摩擦接触面代表了断层面；② 弹簧刚度k的取值大小表示了地壳的弹性性质和几何性质，弹簧形变过程中积累的弹性应变能以便为破裂加速阶段提供必要的能量；③ 不变的远场滑移速率模拟了稳定的板块运动，为断层应变能的积累提供动力来源。总而言之，虽然一维弹簧-滑块-断层模型相对简化，没有考虑断层面的形态、非均匀性和非弹性的影响，但它却能突出断层的基本物理特征，而且计算简单，有助于我们定性地理解地震过程，进而指导下一步的研究。
本研究中所探讨的考虑热学过程的断层演化问题是高度非线性的，在闭锁阶段和自加速阶段的较长时间内，断层参数的变化十分缓慢；而在同震相阶段的极短时间内，断层参数急剧变化。显然，数值计算时，不同阶段的最佳步长不同，因此，步长的选取是当前数值模拟过程中的核心问题之一。步长过大会降低计算精度，步长过小则会降低计算速度，同时增加累积误差。为了兼顾精度和效率，本文选择四阶变步长的Dormand-Prince算法，该方法利用参数自身的变化快慢自动调节步长，使闭锁阶段和自加速阶段的步长大，同震相阶段的步长小，这样既能保证计算精度，又能提高运行速度，并且得到比较理想的结果。
本文的结果分析部分定性地讨论了有效正应力σ和临界滑移距离Dc对断层演化过程的影响。在讨论部分，我们将通过严格的数学公式来验证所得结论的正确性，从而在理论方面对上述结论进行定量地证明和解释。
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地震发生时，断层内一部分形变能通过断层面之间的剪切错动转化为热能并存在于断层中，导致断层区域温度上升。若温度上升很高，而岩石导热系数又很低，那么热能可导致局部岩石发生熔融（李世愚等，2015）。众多研究人员曾对深源地震的震源机制进行过研究，结果表明，深部的断层在快速剪切运动过程中的确发生了岩石熔融。本文的模拟结果表明，具有较大σ和Dc的断层，失稳时的温度可以达到2 000 K甚至更高，此高温已远远超过了断层岩石的熔融温度，这显然不符合实际情形。而且，在Kato （2001）的模拟结果中，断层面温度也仅仅上升了不到40 K。对于本文温度上升幅度的真实性和合理性，在此作如下解释：Kato的模拟中，断层失稳速率较小，仅达到10−3 m/s的数量级，因此温度上升较低；本文的模拟中，断层失稳速率达到1 m/s的数量级，故温度上升很高。我们可以通过减小失稳速率的方法，来降低失稳时断层面达到的最高温度，并且这一方法已经得到验证。
在断层演化过程中，摩擦生热造成断层区域温度大幅上升，从而导致某些参数的取值也发生变化。除了前文中讨论过的参数a和b外，本文采用的激活能参考了Chester （1994）的研究，其结果是在较低的温度条件下得到的，这些参数并不一定适用于当前温度上升较高的情形。同时，处于同震相阶段的断层，在失稳时滑动速度较大，与低速均匀滑动时控制摩擦强度的机制也不同，属于接触点快速加热过程（Rice，2006），其对摩擦强度的弱化作用比Chester-Higgs模型更为强烈。另外，还有些研究人员利用岩石高速摩擦实验来认识地震断层滑动的物理化学过程（姚路等，2016），通过进行岩石高速摩擦实验，模拟了实际断层的同震滑移，实验结果也表明，高速滑动可能主导滑移弱化和速度弱化机制（姚路，2014）。本文的研究焦点不涉及以上这些同震过程的弱化作用，主要对震前的力学行为及相关物理场变化具有参考价值。
4. 结论
基于McKenzie-Brune摩擦生热模型与Chester-Higgs摩擦模型互为耦合作用的断层模型，在一维弹簧-滑块-断层模型的近似下，运用四阶变步长的Dormand-Prince算法，来模拟地震断层的演化过程。本文着重分析了摩擦生热导致的温度上升及其对断层演化过程的影响。考虑到计算效率，本文采用弹簧的刚度系数k接近临界刚度kc的参数设置。通过数值模拟，得到的主要结果和认识如下：
1） 与忽略温度影响的情况相比，摩擦生热造成的温度上升可导致断层滑移时刻略微提前。在给定有效正应力为200 MPa，临界滑移距离为1 cm时，断层失稳时断层面的温度可从初始值550 K升高到900 K，这样的温度上升主要是在断层的高速摩擦之下完成的，并伴随着摩擦系数μ和状态变量θ的下降。
2） 与忽略温度影响的情况相比，考虑温度影响时的断层摩擦强度较大。当滑移速率较大时，摩擦强度近似为一常数，并没有随速率的增加而进一步下降。
3） 在考虑温度影响的情况下，断层的滑移量和应力降略小于忽略温度影响的情况下的滑移量和应力降，但滑移速率则大于忽略温度影响的情况下同一时刻的滑移速率。
4） 当断层上有效正应力σ增加时，断层失稳出现的时刻明显提前，应力降略为减小，但断层上的温度则明显升高。
5） 临界滑移距离Dc越大，断层失稳时刻越迟，断层温度上升也越显著。但当临界滑移距离Dc>5 cm时，断层温度随临界滑移距离Dc的上升不再明显，基本上保持不变。
6） 数值模拟结果也表明，在模型参数相同时，Chester-Higgs摩擦模型计算所得的温度上升值远小于由Ruina摩擦模型（式（8））所得的温度值，前者仅为后者的1/2。
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图 1 古地震复发间隔T/Tave直方图
Figure 1. The T/Tave histogram of the recurrence interval for paleo-earthquake events
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图 2 复发间隔变异系数α的频率直方图
Figure 2. Frequency histogram for aperiodicity parameter α of the recurrence interval
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图 3 断层长度l与变异系数α 之间的关系
Figure 3. Relation between fault length l and aperiodicity parameter α
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图 4 断层类型与变异系数α 之间的关系
Figure 4. Relation between fault type and aperiodicity parameter α
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图 5 断层长度（≤100 km）与变异系数α 之间的关系
Figure 5. Relation between fault length （≤100 km） and aperiodicity parameter α
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图 6 断层滑移速率与变异系数α 之间的关系
Figure 6. Relation between horizontal sliding rate and aperiodicity parameter α
表 1 45条活动断裂带的古地震数据资料及其变异系数
Table 1 Paleo-earthquake data of 45 active faults and corresponding aperiodicitiy parameters
编号 断层分段 平均复发
间隔μ归一化
Ti/μ变异系数αi 断层长
度/km滑移速率
/（mm·a−1）断层类型 参考文献 F1 西秦岭北缘断裂鸳凤段 3 922 1.274 9 0.30 75 1.89 左旋走滑 滕瑞增等（1994），张波（2012） 0.637 4 1.087 7 F2 西秦岭北缘断裂黄香沟段 2 463 1.457 3 0.26 72 2.3 左旋走滑 1.165 1 0.759 9 0.860 5 0.757 1 F3 海原断裂带南、西华山段 1 06 0 0.754 7 0.43 73 4.74 左旋走滑 张培震等（2003） 0.669 8 0.575 5 1.707 5 1.292 5 F4 海原断裂带哈思山—
马厂山段（西段）1 927 1.131 5 0.13 100 5.00 左旋走滑 1.043 3 0.8253 F5 榆木山北缘断裂西段 2 177 0.643 2 0.37 50 1.50 逆断层 陈柏林等（2007），金卿等（2011） 1.516 1 0.840 7 F6 榆木山东缘断裂上龙王段 3 350 0.567 2 0.48 25 1.10 逆断层 邹谨敞等（1993） 1.432 8 F7 皇城—双塔断裂上寺段 3 808 1.129 2 0.13 36 2.10 逆断层 王永成和刘百篪（2001） 0.871 1 F8 昌马断裂 3 101 1.260 9 0.23 60 2.71 左旋走滑 康来迅（1986），罗浩等（2013） 0.722 3 1.016 4 F9 肃南断层中段 750 0.693 3 0.32 80 3.00 逆断层 刘百篪等（2008） 1.306 7 F10 冷龙岭断裂西段 1 364 1.375 4 0.21 69 4.09 左旋走滑 李正芳等（2012） 0.843 1 0.982 4 0.799 1 F11 鄂拉山断裂 2 475 1.010 1 0.37 207 2.23 右旋走滑 袁道阳等（2004） 1.616 2 0.767 7 0.606 1 F12 罗山东麓断裂 2 584 1.238 4 0.28 60 右旋走滑 闵伟等（1993） 0.657 9 1.103 3 F13 老虎山毛毛山断裂
（老虎山段）1 150 1.321 8 0.24 78 4.82 左旋走滑 刘小凤等（1994） 0.852 1 0.826 1 1.043 5 0.913 0 1.043 5 
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