Simulations of ground motion of canyon-basin coupled terrain under vertical incidence of S-wave
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摘要:
采用多次透射公式与三维谱元相结合的方法，研究了S波垂直入射下沉积盆地内耦合三维凹陷地形的地震响应，分析了无量纲宽度κ （凹陷宽度与盆地宽度之比）对地震动放大效应的影响。结果表明：① 无量纲宽度显著改变了盆地内地震动的分布特征、强度及强地震动的位置，凹陷地形对于波长与凹陷尺寸相当的入射波的散射效应更为显著，且此时最强烈地震动主要位于凹陷顶部区域；② 相较于单一盆地地形，盆地内存在凹陷的地形会放大紧邻凹陷顶部或距其一定距离的局部区域的地震动，放大系数介于1.1—1.3之间，地震动明显放大区域的位置随输入波的频域特性而改变，但凹陷底部始终为地震动削减区；③ 无量纲宽度和入射波偏振方向共同影响着地震动峰值位移及放大系数的分布特征，平行偏振方向剖面上放大系数曲线的起伏更为剧烈。
Abstract:The seismic response of local sites is one of hot topics in the field of earthquake engineering. Currently, there have been many researches on the seismic effect of single basin site or local depression sites. However, studies about the basin-depression coupled sites are quite few. Actually, local lakes or deep foundation pits can be frequently found in the basins. So the studies of ground motion amplification characteristics of such a coupled terrain are of significance for earthquake prevention and disaster reduction in corresponding areas. In this paper, a numerical simulation method combining high-precision spectral element method and multiple transmission boundary is firstly introduced, which are used for the wave motion simulation of the interior nodes and boundary nodes, respectively. The accuracy of the method is validated by comparison with the analytical solution for seismic response of a hemisphere basin under SV wave incidence. Then, by using this method, the seismic responses of coupled three-dimensional depression terrain in sedimentary basins under vertical S-wave incidence are investigated considering different input waves, and the impacts of dimensionless width （defined as the ratio of depression width to basin’s radius, abbreviated as κ in the following） on the amplification effect of ground motion are analyzed. The distributions of peak ground displacement （PGD） and the corresponding amplification coefficients （defined as the ratio of the PGDs of basin-canyon coupled model to the single basin model）, the displacement time histories along characteristic profiles and their amplification factor distributions are used for the study. Finally, influence of the depression shapes （three-dimensional rectangle and three-dimensional trapezoid） on the seismic amplification features is comparatively studied. The results indicate that:
1） When no concave is contained in the basin, the incident waves on the semisphere surface are focused at the center of the basin, resulting in the strongest shaking in this region, which is the so called “focusing effect” . But the focusing areas varies significantly with the input wave, with the largest area for the Ninghe wave, and the smallest area for the pulse wave.
2） The dimensionless width of the depression significantly changes the distribution characteristics, intensities, and locations of strong ground motions inside the basin. For the pulse wave incidence case, excepting for the κ＝0.4 model, the ground motion amplitudes of the concave-coupled terrain are always larger than those of the only-basin model. While for the Ninghe and Kobe wave incidence case, the opposite happens.
3） The scattering effect of concave terrain on incident wave components with wavelengths equivalent or close to their sizes is more significant, and the strongest ground motion is mainly located in the top area of the concave. In contrary, the ground motion amplification effects are insignificant for incident waves with wavelengths greatly longer than the size of depression, when the strong ground motion are still located at the center area of the basin.
4） Compared to a single basin terrain, the concave terrain within the basin can cause amplification of ground motion in local areas adjacent to the top of the depression or at a certain distance from it, with amplification coefficients ranging from 1.1 to 1.3. Its position changes with the input wave and the dimensionless width, but the bottom of the depression is always a ground motion reduction zone. The amplification effect of the ground motions near the top of the concave or the basin edge is probably caused by the interference between the basin-edge induced surface wave, the directly input wave and the scattering wave on the concave surface.
5） The dimensionless width of the depression and the polarization direction of the incident wave jointly affect the distribution characteristics of the peak ground displacement and amplification coefficient. In this study, the input ground motion is polarized in the plane for the left-right sides, and out-of-plane for the front-back sides. Then different wave mode conversion phenomenon occurred when waves impinge on the basin basement. The interference with the directly input wave gives rise to the significant difference in wave propagation behavior and ground motion distribution features along the two axis of the basin, which cannot be considered for the two-dimensional model. In addition, the amplification coefficient curve on the profile parallel to the polarization direction fluctuates more violently.
6） The shape of the depression has certain influence on the distribution of simulated amplification coefficient. The ground motion distribution characteristics of trapezoidal depression on slope surface and bottom of depression are significantly different from those of rectangular depression. The effect of ground motion intensity on the depressed slope is greater than that on the top of both slopes when the slope angle is small. The PGD and amplification coefficient of the three-dimensional trapezoid concave site are a little smaller than the results of three-dimensional rectangle models. But the general distribution feature is comparable, the most affected area is always concentrated in the region of depression and the area adjacent to the edge of it.
Therefore, for the basin-depression coupled site, the ground motion amplification effect caused by the canyon should be considered, especially when the predominant wavelength of the input wave is close to or smaller compared to the canyon scale. If the predicted ground motion values are obviously larger than the designed basic seismic acceleration of the corresponding area, the seismic fortification level of important engineering structures in the area should be appropriately raised. The results of this study can provide theoretical reference for the seismic damage defense work of sedimentary basin-depression coupling sites.
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引言
多次的震害实例、观测记录及数值模拟结果均表明，盆地、凹陷等局部地形对地震动具有显著的放大作用。盆地对地震动放大作用的典型实例有：1985年墨西哥MS8.1地震中墨西哥城发生的严重震害（Anderson et al，1986）、1999年日本神户地震中大阪盆地边缘区域形成的强烈破坏带（Kawase，1996）、2014年我国鲁甸MW6.1地震中龙头山镇盆地的严重震害（刘启方，2021）等。同时，大量研究结果也证实凹陷地形对地震动也存在影响，例如：Sepúlveda等（2005）得出1994年美国北岭M6.7地震中，帕科伊马（Pocoima）坝肩处的峰值加速度记录为河谷谷底的3倍；方仁义等（2017）基于三维振动台模型试验再现了凹陷地形的加速度放大效应；梁建文等（2017）对深厚软土场地中三维凹陷地形的地震动响应的研究表明，凹陷顶部的加速度反应谱较自由场明显放大，而凹陷底部中心点的加速度反应谱值则明显降低；丁海平等（2017）和顾亮等（2017）分别分析了P波和SV波斜入射条件下陡坎和凹陷地形的地震动放大系数的分布特征；陈三红和张郁山（2017）基于波函数展开法推导了圆弧层状凹陷地形对平面SV波入射下的动力反应；巴振宁等（2020）探究了平面SV波入射下，高山-峡谷复合地形对地震波的散射效应；杨彩红等（2022）给出了圆弧形凹陷在SH波入射下瞬态反应的解析解，并在此基础上研究了相应的地震动放大特征。但上述研究多针对单一的盆地或凹陷地形，对于凹陷地形的地震动影响研究多采用二维模型，关于三维凹陷对地震动影响的研究相对较少，同时考虑凹陷与盆地地震效应耦合作用的情况则更少。
我国许多城市处于盆地地形之中，随着城市化进程的加快，高层建筑、地铁车站等建设产生了大量的深基坑工程。同时，部分盆地内存在大小各异的河谷、湖泊等，研究三维凹陷地形对盆地内地震动的影响对相关区域的防震减灾具有参考意义。已有研究表明，盆地不规则的基底面会导致盆地边缘区域产生次生面波（瑞雷波和勒夫波）并发生波型转换，同时存在不同波型之间的干涉、盆地聚焦效应等，而凹陷地形对地震动分布也有显著影响，因此考虑盆地与凹陷耦合作用下的地震动放大特征很有必要（Ayoubi et al，2021；李小军等，2023）。
由于场地条件的复杂性，数值模拟方法成为研究局部场地地震效应的主要手段。常用的数值模拟方法包括有限差分法、有限元法、边界元法、谱元法（spectral element method，缩写为SEM）等，其中谱元法因其精度高、收敛速度快、几何适应性好，在近年来得到广泛应用（孔曦骏等，2022；万远春等，2022； 赵靖轩等，2023）。对局部场地进行地震动模拟，常常需要在截取的有限计算域边界面节点上施加人工边界条件（artificial boundary condition，缩写为ABC）来模拟穿出边界面的外行波的透射过程，如常用的黏性边界、黏弹性边界、多次透射公式（multi-transmitting formula，缩写为MTF）等，其中多次透射公式的高阶精度优势使其能够与谱元法的高阶精度相匹配，引起了研究者的更多关注，并被应用于解决基于谱元法的内源和外源波动问题中。戴志军等（2015）指出多次透射公式与谱元法结合时出现高频振荡失稳的可能性较小；邢浩洁和李鸿晶（2017）认为MTF 谱元格式的稳定条件比内域离散格式宽松，所以一般情况下不会发生高频振荡失稳；Yu等（2021）则将MTF在谱元法中的良好高频稳定性归结为与谱元法中非均布网格的较低网格频散有关；章旭斌和谢志南（2022）分析了二维谱元中MTF的稳定性问题，并给出了相应的稳定条件。这些研究结果显示出多次透射公式与谱元法结合时具有较好的高频和低频稳定性表现。但目前关于三维谱元法与MTF结合及其应用问题的研究并不多，于彦彦等（2023）给出了散射问题下三维谱元法与MTF的结合方法，其结果表明该方法具有较高的精度，且在稳定性方面显著优于MTF在线性有限元方法中的表现，适用于长持时地震动模拟。因此，本文采用三维谱元法与MTF相结合的方法。
本文拟引入一种高精度谱元法与多次透射边界相结合的三维散射问题数值模拟方法，并基于该方法研究盆地地表的凹陷地形对地震动分布和放大系数（定义为含凹陷的盆地模型与不含凹陷的盆地模型地震动的比值）的影响，重点分析凹陷宽度与盆地宽度之比，即无量纲宽度，对强地震动以及放大系数分布特征的影响规律，以期为类似场地地形之上的地震小区划或结构抗震设计提供参考。
1. 模拟方法
本文通过多次透射公式（MTF）与谱元法（SEM）相结合的方法来模拟平面SV波入射下三维凹陷地形的地震动响应。在数值模拟中，为了减少计算量我们通常截取有限的计算区域，在其边界面上施加边界条件，常见的边界条件有黏性边界、黏弹性边界、多次透射公式和完美匹配层。多次透射公式理论由廖振鹏等（1984）提出，它通过单侧外行波解的一般表达式来模拟外行波穿越边界的过程，用与人工边界点相邻的若干内节点的位移组合表示边界点的位移，通过提高多次透射公式的阶数可获得对于外行波的高阶透射精度。
如图1所示，外行波以垂直方向入射到人工边界上，网格节点j在p时刻的位移为$ u_j^p $，MTF计算点j在p时刻的位移为$ u_{\mathrm{s}\text{，} j}^p $，模拟边界点外行波位移的多次透射公式为
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图 1 多次透射边界原理示意图图中方块为各单元内配置的节点，圆点为透射公式计算点，Δt为时间步长Figure 1. Schematic diagram of multiple transmission boundary principleThe squares and dots denote the allocated SEM nodes and the referential points used by MTF，respectively. ∆t represents the time step$$ u_0^{p＋1}＝\sum\limits_{j=1}^N （ -1 ） ^{j＋1}C_j^Nu_{\mathrm{s}\text{，} j}^{p＋1-j}\text{，} $$ (1) 式中：N为阶数；$C_j^N$为二项式系数，且$ C_j^N ＝ {{N!}}/{{ ［ （ N - j ） !j! ］ }} $；$ u_{\mathrm{s}\text{，} j}^{p＋1-j} $为计算点j在p＋1−j时刻的外行散射波场位移。由于计算点的位置与谱元节点的位置一般不重合，因此计算点位移采用拉格朗日插值法通过同时刻谱元节点的外行波场位移插值求得（于彦彦等，2023），即：
$$ u_{{\mathrm{s}} \text{，} j}^p ＝ \sum\limits_{i ＝ 0}^L {u_{{\mathrm{s}} \text{，} i}^p{l_i}} \text{，} $$ (2) 式中：L为拉格朗日插值多项式次数；li表示对应的插值系数，
$$ l_i＝\prod_{\substack{k＝0 \\ k {{≠}} i}}^L \frac{x_{\mathrm{d}\text{，} j}-x_k}{x_i-x_k}\text{，} $$ (3) 式中，${x_{{\mathrm{d}} \text{，} j}} ＝ {x_0} - j{c_{\mathrm{a}}}\Delta t$为计算节点j的坐标，ca为人工波速（一般取为介质的剪切波速），$ {x_i} $ （i＝0， 1， ···， L）为谱元节点坐标，$ \Delta t $为时间步长。
式（2）中谱元节点外行波散射场的位移${u_{\text{s}}} $由波场分离法得到：
$$ {u_{\text{s}}} ＝ u - {u_{\mathrm{r}}}\text{，} $$ (4) 式中：u为全波场位移；ur为参考波场位移，一般取不存在地表地形时的自由场位移。
将式（1）—（4）计算得到的边界点在p＋1时刻的外行散射波场位移与该时刻的自由波场（三维模型的4个边界面上的节点）或入射波场（三维模型的底边界面上的节点）叠加即可得出所有边界节点下一时刻的位移。内部节点下一时刻的位移则采用基于纽马克-β预估校正时间格式的四阶谱元法递推求解。
为检验方法的正确性，采用上述方法模拟一半球形沉积谷地对垂直入射SV波的响应。半空间和沉积盆地的泊松比均为1/3，盆地内外的剪切波速比为1/2，密度之比为2/3，品质因子Q为100。取x＝0的剖面为研究对象，定义无量纲频率为：
$$ \eta＝\frac{2a}{\lambda\mathrm{_{S_{ }}}}＝\frac{\omega a}{\pi c_{\mathrm{S}}}＝2\frac{fa}{c_{\mathrm{S}}}\text{，} $$ (5) 式中：$ a $为球体的半径，$ c_{\mathrm{S}} $为基岩剪切波速，$ \omega $为圆频率，f为频率，${\lambda _{\mathrm{S}}}$为半空间介质中剪切波波长。Mossessian和Dravinski （1990）的结果已被诸多研究者在验证自身方法的精度中采用（Chaillat et al，2009；Ba et al，2020； Liu et al，2022），本文也将通过与该结果的对比来验证方法的正确性。将本文模拟的无量纲频率$ \eta $＝0.5下的结果与Mossessian和Dravinski （1990）的结果进行对比，如图2所示，可以看出，本文所示方法的结果与Mossessian和Dravinski （1990）采用间接边界元法的结果吻合良好，二者之间的最大误差约为3%，表明本文方法的正确性和较高精度。
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2. 计算模型
建立盆地内三维凹陷地形模型，如图3所示。模型的长度、宽度和高度都为2 000 m，半球形盆地的半径R＝500 m，在盆地中心处存在一四面矩形凹陷地形，凹陷的长和宽相等，为变量，凹陷深度为50 m，保持不变。基岩和盆地的介质参数分别为：基岩纵波波速crP＝2 000 m/s，基岩剪切波速crS＝1 000 m/s，基岩密度ρr=2 700 kg/m3；盆地纵波波速cbP＝800 m/s，盆地剪切波波速cbS＝400 m/s，盆地密度ρb＝1 800 kg/m3。
为保证模拟精度，网格尺寸需满足
$$ \Delta x{≤}\lambda_{\min}＝\frac{c_{\mathrm{bS}}}{f_{\mathrm{cu}}}\text{，} $$ (6) 式中，$ \lambda_{\mathrm{min}} $为入射波最短波长，${f_{{\mathrm{cu}}}}$为入射波的截止频率。本文计算模型中基岩部分的网格尺寸Δx为50 m，盆地内最小网格尺寸为12.5 m，满足计算精度要求。模型共计包含12万零680个谱单元。设定入射波为S波，偏振方向与图2中x轴方向一致，从模型底边界面垂直入射。为更好地探究场地对地震动的影响，分别采用脉冲波及不同强度的实际地震波（宁河波和Kobe波）作为输入，其位移时程如图4所示。可以看出：在频域内脉冲波具有较宽频带且幅值衰减缓慢，可表示宽频带的波动输入；宁河波和Kobe波的主频分别为0.5 Hz和0.25 Hz，对应的入射到盆地基底的剪切波长分别为2 km和4 km，可以代表不同波长的地震波输入。结合模型中最小节点间距及介质波速，取计算时间步长Δt为0.5 ms，模拟地震动总持时为20 s。
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图 4 输入脉冲波（左）、宁河波（中）和Kobe波（右）的位移时程曲线（a）及其傅里叶谱（b）Figure 4. Time histories （a） and Fourier spectrum （b） of inputted pulse wave （left），Ninghe wave （middle），and Kobe wave （right）3. 模拟结果及分析
保持盆地半径为500 m及凹陷深度为50 m不变，研究凹陷宽度与半球形盆地半径的比值（以下定义为无量纲宽度κ）对三维凹陷地形周围地震动的影响。其中凹陷宽度分别取为50 m，100 m，150 m和200 m，对应的特征宽度κ分别为0.1，0.2，0.3和0.4，而无凹陷地形时定义κ＝0。为清晰地显示地表点峰值位移（peak ground displacement，缩写为PGD）的分布情况，截取盆地内边长为
1000 m的区域（图3中虚线框所示）进行研究。3.1 地震动峰值及放大系数分布特征
不同地震波输入下地表x分量的峰值位移分布如图5所示。其中图5a为脉冲波入射下的结果，图5b和5c分别为宁河波及Kobe波输入下的结果，为对比方便，图中同时给出了无凹陷地形时（κ＝0）的地震动分布。
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图 5 不同无量纲宽度κ下三种入射波对应的地表峰值位移PGD分布（a） 脉冲波入射；（b） 宁河波入射；（c） Kobe波入射。黑色圆代表盆地的范围，中心处的方形线框表示凹陷范围Figure 5. Peak ground displacement （PGD） distribution under different dimensionless widths κ under three incident waves（a） Pulse wave incidence；（b） Ninghe wave incidence；（c） Kobe wave incidence. The black circle and box represent the boundaries of the basin and canyon，respectively由图5可以看出，无凹陷时（κ＝0），根据波传播的斯奈尔定律，入射到半球形盆地基底面的地震射线向盆地中心位置处聚焦，形成盆地的聚焦效应，使得盆地中心区域的地震动强度最大，输入三种波时均如此。但聚焦效应区域的面积差别较为明显，其中以输入宁河波时的聚焦效应区域面积为最大，输入脉冲波时最小。此外，凹陷的存在显著改变了盆地内地震动的分布特征，且凹陷在不同无量纲宽度下的地震动强度和分布特征有明显差异。输入脉冲波时，除κ＝0.4外，其余情况下地表地震动幅值均大于无凹陷的情况，表明凹陷地形对局部区域地震动有放大效应，这与单一凹陷地形的研究结果一致。输入宁河波和Kobe波时，凹陷的存在使得盆地地表地震动峰值最大值均小于无凹陷的情况。输入宁河波时，地表地震动幅值随着κ的增大而递减，且凹陷底部对地震动的削减作用非常不明显；输入Kobe波时，盆地-凹陷耦合地形的地表地震动幅值均小于无凹陷地形，凹陷底部区域的地震动幅值被强烈削减：κ＝0.1时对应的地表地震动峰值位移最小，κ＝0.2时地震动峰值位移达最大，此后逐渐减小。总体而言，输入不同地震波时地表地震动强烈区域多位于凹陷顶部前后两侧，这主要与入射波的偏振方向为x向有关：此时对左右边界面而言，波振动方向垂直于边界面，而对于凹陷前后侧面而言，波振动方向与之平行。
同时，不同无量纲宽度下的地震动分布特征存在差异：κ＝0.1时，凹陷顶部左右两侧的地震动强于前后两侧（输入脉冲波和宁河波）；κ≥0.2时，最强烈地震动均位于凹陷顶部前后两侧，且随着κ的增大，凹陷前后两侧地震动的幅值与左右两侧幅值的差异程度越来越大。输入Kobe波时的最强烈地震动始终位于凹陷前后两侧。
此外，值得注意的是，凹陷基底并非恒为地震动最弱的区域，由于盆地的耦合作用，甚至可能成为地震动最强烈的区域，如输入宁河波的结果（图5b；κ＝0.2，κ＝0.3时），这应与宁河波具有丰富或较宽的长周期成分有关，此时入射到凹陷的波长相对较大，凹陷地形引起的散射效应相对不明显。
将盆地区域内有凹陷与无凹陷的单一盆地的位移幅值的比值定义为地震动放大系数，进而研究不同无量纲宽度下凹陷地形对盆地内地震动的影响。图6为不同κ下地震动的放大系数分布。
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图 6 不同无量纲宽度κ下脉冲波（左）、宁河波（中）和Kobe波（右）入射对应的地表x分量的峰值位移PGD放大系数分布Figure 6. Distribution of peak ground displacement amplification coefficient in x component for pulse wave （left），Ninghe wave （middle），and Kobe wave （right） incidence under different dimensionless widths κ由图6可见：沉积盆地内的凹陷地形对盆地内局部区域的地震动具有一定程度的影响。对于本文考虑的几种工况，最大放大系数的变化范围较小，介于1.1—1.3之间，总体显示，κ越大，最大放大系数越大，尤其是对于输入宁河波和Kobe波的情形。同时，输入不同波时的最大放大系数略有不同，输入脉冲波时的放大系数最大，输入宁河波时的放大系数最小，最大放大系数为1.12 （出现于κ＝0.4的模型）。此外，高放大系数的出现位置也不同，输入脉冲波时紧邻凹陷顶部四周及沿盆地左右两侧边缘的区域的地震动明显放大。输入宁河波时，在κ＝0.1和κ＝0.2的工况下基本无放大现象，仅在κ＝0.3和κ＝0.4的工况下放大系数在1.1左右，位于凹陷前后两侧且与凹陷顶部边缘相距100 m左右处。输入Kobe波时，除κ＝0.4的模型外，其余工况下的地震动放大区域均位于凹陷顶部前后两侧，并与凹陷顶部边缘有一定距离，且总体而言输入Kobe波时该距离更大。
凹陷顶部区域或盆地边缘附近地震动的放大作用很可能是由盆地边缘的次生面波、直达体波与凹陷地形引起的散射波之间的叠加干涉引起，但散射体（凹陷）尺寸与入射波卓越波长之比发生变化时，会导致干涉区域位置改变，进而引起强地震动及放大系数的改变。如脉冲波的高频成分（短波长）显著，这些短波长地震波对局部凹陷的散射效应敏感，高放大系数主要位于凹陷边缘四周以及盆地左右侧的边缘区域；而宁河波的频带非常集中，且主要集中在0.3—1 Hz之间，为低频地震动，因此其绝大部分地震能量对应的入射波长（如0.5 Hz对应的盆地内剪切波长为
1000 m）比凹陷尺寸（最大宽度200 m，深度50 m）大得多，导致输入宁河波时凹陷地形的散射效应相对最不明显。输入Kobe波时的地震动放大效应略强于输入宁河波，同时κ＝0.4时的明显放大现象可能与Kobe波包含了相对高频成分对应的波长（如2 Hz对应的盆地内剪切波长为250 m）与凹陷尺寸接近有关。由图6还可以看出，输入不同地震波时均存在凹陷引起的地震动显著的削减作用，且基本位于凹陷底部区域。但值得注意的是，输入宁河波时κ＝0.4工况下所对应的地震动削减最显著区域位于凹陷顶部左右两侧，而非凹陷底部。同时，输入不同地震波时地震动最显著削减作用出现在不同κ的工况下，输入脉冲波、宁河波和Kobe波时的最小放大系数分别出现于κ＝0.1，κ＝0.4和κ＝0.3的工况。
3.2 剖面时程及放大系数分析
本节通过特征剖面上地表观测点的位移时程和地震动放大系数的分析来进一步研究盆地内凹陷地形对地震动的影响。分别选取y＝0和x＝0两个剖面作为研究对象，两剖面的具体位置参见图3。图7为凹陷在不同无量纲宽度下输入脉冲波时两个剖面地表点x分量的位移时程及相应的地表峰值位移的分布。
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图 7 脉冲波入射下不同无量纲宽度κ对应的x＝0 （左）和y＝0 （右）剖面的位移时程及峰值位移PGD分布Figure 7. Displacement time histories and PGD distributions along x＝0 （left） and y＝0 （right） profiles for pulse wave input under different dimensionless widths κ（a） κ＝0.1；（b） κ＝0.2；（c） κ＝0.3；（d） κ＝0.4从y＝0剖面的位移时程结果来看，考虑凹陷地形的影响时，地震波的传播出现明显的“中断”现象。当无量纲宽度κ较小时，凹陷的存在使得其底部的地震动峰值被强烈削减，地震动最大值出现在凹陷两侧肩部。随着κ的增大，凹陷底部的地震动幅值逐渐增大，尤其以x＝0剖面更为显著，该剖面上κ＝0.4时凹陷中心的峰值甚至超过了凹陷两侧的峰值。x＝0剖面上的波传播特征与y＝0剖面显著不同，强烈地震动区域的范围更广。同时，x＝0剖面的地震动峰值的变化相对更加平缓。
图8为脉冲波、宁河波和Kobe波入射下x＝0剖面与y＝0剖面上的放大系数分布。由该图可以看出：无论入射什么波，凹陷中心的地震动放大系数均小于1，为地震动削减区，其中最小地震动仅为单一盆地模型地震动的55%。同时，在盆地内某些位置的地震动被放大，放大的具体位置和最大放大系数均随输入波的不同而变化。输入脉冲波时，y＝0剖面的放大系数分布更加复杂，最大放大系数的位置从κ较小工况下的凹陷顶点处向κ较大工况下的盆地边缘移动；而x＝0剖面上放大系数的变化趋势相对简单和平滑很多，最大放大系数始终位于凹陷顶部两肩处，向两侧迅速衰减至1左右。此外，从两个剖面结果来看，凹陷无量纲宽度的变化对地震动放大系数最大值的影响较小。两个剖面上不同κ工况下的放大系数最大值分别在1.3和1.1左右。
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图 8 含凹陷盆地不同无量纲宽度κ下y＝0 （a）和x＝0 （b）剖面对应的峰值位移PGD放大系数分布Figure 8. Distribution of PGD amplification coefficient along y＝0 （a） and x＝0 （b） profiles under different dimensionless widths ratio κ in the basin containing canyon输入宁河波时凹陷引起的地震动放大效应非常不明显，两个剖面上的最大放大系数仅为1.1左右，但凹陷底部区域的地震动削减作用依然强烈，κ＝0.4时其峰值放大系数仅为0.72左右。总体而言，凹陷无量纲宽度越大，其底部的地震动削减程度越强烈，这与图6所示结果一致。同时，盆地顶部边缘并非恒为地震动增强区，如y＝0剖面κ＝0.4工况下以及x＝0剖面κ＝0.3工况下凹陷顶部均为削减作用最强烈的区域。相比而言，x＝0剖面受凹陷地形的影响较小。输入Kobe时，凹陷底部区域的地震动削减作用依然强烈，最大放大系数仅为0.65左右。凹陷顶部至盆地边缘区域的地震动放大系数在y＝0剖面的κ＝0.4工况下达到最大（超过1.3），而x＝0剖面的放大系数值普遍在1.15以下，且随凹陷的变化较小。
以上结果显示，尽管y＝0和x＝0两个剖面的模型是完全相同的，但其结果却有明显差异。这一差异应主要与入射波的偏振方向有关。考虑本文入射波沿x方向偏振的情况，对于模型的左右侧面，输入波动为SH波；而对于前后侧面输入波则为SV波。因此当输入波抵达盆地基底面的不同位置时会产生迥异的波型转换效应，加之与直达波的干涉等作用，进而导致研究区域内两个轴线上的波传播及地震动分布特征差异显著，而按二维模型考虑则无法反映这种差异。
基于上述结果，对盆地内耦合凹陷地形的场地，需考虑凹陷引起的地震动放大作用。可采用当地实际地震记录反演得到的计算区域底面的地震动时程，或地震危害性评价给出的场点地震动时程作为输入波，当输入波卓越波长显著大于凹陷尺寸时，可不考虑凹陷的地震动放大效应；当与凹陷尺寸相当时，则需考虑盆地内凹陷地形对地面运动的影响。对强烈地震动区域（如凹陷顶部四周区域）的重大工程，若预测的峰值加速度大于相应区域的设计基本地震加速度值，应适当考虑提高设防标准。
4. 讨论
文中以上结果主要针对盆地内耦合四面矩形凹陷地形的情况。考虑实际地形中凹陷形状的不同，建立盆地内耦合四面梯形凹陷构造的模型，如图9所示。其中控制凹陷底部（形状仍为正方形）的边长50 m不变，凹陷地表处的边长分别取为100 m和150 m （对应的无量纲宽度κ分别为0.2和0.3）。在模型底部输入与图4中相同的脉冲波，模拟得到的地表x分量的峰值位移及放大系数分布分别如图10和图11所示。
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图 9 耦合四面梯形凹陷地形的半球形盆地模型Figure 9. Hemispherical basin model coupled with four-sided trapezoidal depression topography![]()
图 10 脉冲波入射下盆地-四面梯形凹陷耦合地形的地表峰值位移PGD分布Figure 10. Distribution of surface PGD for basin models coupled with four-sided trapezoidal depression topography under pulse waves incidence![]()
图 11 脉冲波入射下盆地-四面梯形凹陷耦合地形的地表位移峰值PGD放大系数分布Figure 11. Distribution of surface PGD amplification coefficient for basin models coupled with four-sided trapezoidal depression topography under pulse waves incidence从图10可以看出，相较于盆地内耦合矩形凹陷的结果（图5），考虑梯形凹陷形状时，盆地内最大峰值位移明显降低，如κ＝0.2时梯形和矩形凹陷对应的盆地内最大峰值位移值分别为7.18和8.12，降幅达12%，但二者对应的盆地内地震动的总体分布特征类似。此外，凹陷前后两侧的地震动幅值大于左右两侧，且随无量纲宽度的增大，这一差异程度越来越大，这与矩形凹陷的结果类似。需要注意的是，梯形凹陷地形在斜坡面上及凹陷底部的地震动分布特征与矩形凹陷的结果存在较显著差异。如凹陷斜坡面上地震动幅值从地表至底部呈梯度降低，且坡角较小（κ＝0.3）时坡面上地震动强度大于两侧坡顶处。此外，凹陷底部的地震动始终被抑制，地震动幅值小于凹陷坡面上及凹陷顶部的值。
从放大系数结果（图11）看，随着无量纲宽度的增大，盆地内最大放大系数增大，且明显放大区域同样集中在凹陷邻近区域，尤其是凹陷顶部左右两侧区域，这与矩形凹陷的结果相似。但最大放大系数相比矩形凹陷显著降低，如κ＝0.2工况下梯形凹陷的最大放大系数为1.173，这与最大峰值位移的变化对应；而凹陷底部地震动的削减程度显著增强。此外，凹陷顶部明显放大区域相对更远离顶部边缘。同时，盆地左右两侧边缘的放大系数及其相应的变化剧烈程度相比耦合矩形凹陷的盆地模型均有所降低。
5. 结论
本文采用谱元法与多次透射边界相结合的方法，通过数值模拟研究了S波垂直入射下三维沉积盆地内凹陷地形对地震动的影响，分析了凹陷与盆地相对宽度变化时的地震动及放大系数的变化规律，主要结果如下：
1） 凹陷地形会显著改变盆地内地震动的分布及波传播特征。凹陷地形对于波长与其尺寸相当的入射波动成分的散射效应更为显著，最强烈地震动位于凹陷顶部四周；对于入射波长远大于自身尺寸的波动散射效应则不明显，强烈地震动仍位于盆地中心。
2） 凹陷顶部四周或盆地内局部区域的地震动相比不考虑凹陷时存在放大效应，其位置受κ值及入射波的影响明显。不同地震波输入时的最大放大系数在1.1—1.3之间，具体与输入波特征有关。凹陷底部始终为地震动削减区。
3） 入射波的偏振方向强烈影响研究区域的地震动和放大系数的分布特征，平行偏振方向剖面上的放大系数变化更加剧烈。
4） 凹陷形状对峰值位移及放大系数的分布特征有影响，四面梯形凹陷的位移幅值和放大系数均有所降低，但总体分布特征相近，受影响最大的区域始终集中在凹陷内及凹陷顶部邻近区域。
5） 对盆地内耦合凹陷地形场地，当输入波的卓越波长与凹陷尺度相近或较小时，需考虑盆地内凹陷地形对地面运动的放大作用。当预测的峰值加速度大于相应区域的设计基本地震加速度时，应适当提高区域内重要工程结构的抗震设防水平。
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图 11 脉冲波入射下盆地-四面梯形凹陷耦合地形的地表位移峰值PGD放大系数分布
Figure 11. Distribution of surface PGD amplification coefficient for basin models coupled with four-sided trapezoidal depression topography under pulse waves incidence
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图 1 多次透射边界原理示意图
图中方块为各单元内配置的节点，圆点为透射公式计算点，Δt为时间步长
Figure 1. Schematic diagram of multiple transmission boundary principle
The squares and dots denote the allocated SEM nodes and the referential points used by MTF，respectively. ∆t represents the time step
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图 4 输入脉冲波（左）、宁河波（中）和Kobe波（右）的位移时程曲线（a）及其傅里叶谱（b）
Figure 4. Time histories （a） and Fourier spectrum （b） of inputted pulse wave （left），Ninghe wave （middle），and Kobe wave （right）
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图 5 不同无量纲宽度κ下三种入射波对应的地表峰值位移PGD分布
（a） 脉冲波入射；（b） 宁河波入射；（c） Kobe波入射。黑色圆代表盆地的范围，中心处的方形线框表示凹陷范围
Figure 5. Peak ground displacement （PGD） distribution under different dimensionless widths κ under three incident waves
（a） Pulse wave incidence；（b） Ninghe wave incidence；（c） Kobe wave incidence. The black circle and box represent the boundaries of the basin and canyon，respectively
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图 6 不同无量纲宽度κ下脉冲波（左）、宁河波（中）和Kobe波（右）入射对应的地表x分量的峰值位移PGD放大系数分布
Figure 6. Distribution of peak ground displacement amplification coefficient in x component for pulse wave （left），Ninghe wave （middle），and Kobe wave （right） incidence under different dimensionless widths κ
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图 7 脉冲波入射下不同无量纲宽度κ对应的x＝0 （左）和y＝0 （右）剖面的位移时程及峰值位移PGD分布
Figure 7. Displacement time histories and PGD distributions along x＝0 （left） and y＝0 （right） profiles for pulse wave input under different dimensionless widths κ
（a） κ＝0.1；（b） κ＝0.2；（c） κ＝0.3；（d） κ＝0.4
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图 8 含凹陷盆地不同无量纲宽度κ下y＝0 （a）和x＝0 （b）剖面对应的峰值位移PGD放大系数分布
Figure 8. Distribution of PGD amplification coefficient along y＝0 （a） and x＝0 （b） profiles under different dimensionless widths ratio κ in the basin containing canyon
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图 9 耦合四面梯形凹陷地形的半球形盆地模型
Figure 9. Hemispherical basin model coupled with four-sided trapezoidal depression topography
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