引言

随着观测精度的提高，海潮负荷效应作为大地测量观测中的一个改正项显得越来越重要． 目前的研究主要关注在地球表面，而对地球内部的研究甚少． 应变和应力测量作为研究地震的重要手段，研究海潮负荷对地球内部应力和应变的影响就显得非常重要． 海潮负荷是在日月引潮力作用下海水的涨落对地球的影响，通常包括海水的直接引力、地球在引力作用下的变形，以及由于变形导致的地球内部质量的重新分布(Melchior，1978；方俊，1985；许厚泽，2010)等3部分效应；因此海潮负荷可以认为是日月引潮力对地球的二次效应． 海潮负荷对于在地表或空间进行的大地测量学与地球物理学方面的观测都具有非常大的影响(周旭华，2001；周江存,孙和平，2005，b)，在沿海地区更是如此(周江存,孙和平，2005)．

对于应变或应力潮汐来说，它们只包含地球在潮水压力作用下地球的变形效应． 应变测量一直是研究地震及其相关科学的重要手段(周坤根等，1991；蒋骏,张雁滨，1994；蒋骏等，1995)，在应变测量结果中具有非常明显的海潮负荷的信号，因此扣除海潮负荷的影响就显得非常重要． 而地球内部的应力则对于地震的孕育与发生都具有非常重要的作用，在大地震来临之前，地球内部断层附近处于一个临界状态，任何微小的外力作用都有可能诱发地震． 因此，早在19世纪末，就有关于潮汐触发地震的研究(Schuster，1897)． 目前也有更多的证据表明，潮汐应力与地震的发生具有一定的联系(Tsuruoka et al，1995；Tanaka et al，2002；Métivier et al，2009)． 目前关于海潮负荷的研究只限于地球的表面，而关于海潮负荷对地球内部影响的研究则比较少. 孙文科(1991)曾对地球内部的海潮负荷应力潮汐进行了研究，但仅仅给出了2阶负荷勒夫(Love)数的结果；阎春恒等(2010)研究了海潮负荷对地震断层面上的应力潮汐的影响，但计算应变时采用了差分代替微分的近似算法. 另外，目前应力和应变测量有向地下深部发展的趋势(骆鸣津等，2008)．因此，研究海潮负荷对地球内部应力和应变的影响具有较大的科学意义，希望通过本文的研究能够对认识海潮负荷如何影响地球内部的应力和应变状态提供参考．

1.   计算理论

1.1   负荷勒夫数

对于海潮负荷的研究，通常基于球对称、非自转、弹性、各向同性(spherically symmetric non-rotating elastic isotropic,简写为SNREI)的地球模型． 通过计算格林函数和负荷质量的积分获得海潮负荷的影响． 其中，负荷勒夫数的计算是基于SNREI地球模型在球坐标系下求解如下微分方程组：

式中，Y =[y₁,y₂,y₃,y₄,y₅,y₆] ^T是由径向应力、径向位移、水平应力、水平位移、重力位及重力组成的向量，A 是由地球模型参数组成的矩阵，r是到球心的距离(Longman，1962，1963；Farrell，1972)． 许多研究人员对此进行了研究(汪汉胜等，1996；Sun，Sjöberg，1999；徐建桥,孙和平，2003)，即采用龙格-库塔方法求解并给出了地表的负荷勒夫数．由于我们需要研究地球内部的应力和应变特征，因此需要获得地球内部的负荷勒夫数，实际上在求解地表负荷勒夫数的过程中其内部的解也是一并求出的． 我们采用Sun和Sjöberg (1999)关于内部负荷勒夫数的定义

式中，R是地球半径；h′ _n，l′ _n和k′ _n是负荷勒夫数；g₀是地表重力；并重新定义y₆如下:

式中，f是引力常数，ρ是密度． 由此，其地表的边界条件变得更加简洁，为

在计算过程中，为了防止计算溢出，采用汪汉胜等(1996)的变换方法，并同时对数值积分的每一步进行归一化处理． 另外,对0阶和1阶计算的特殊处理可参考Sun和Sjöberg (1999)文章．

1.2   应力和应变负荷格林函数

应变是位移及其导数的组合，因此应力和应变的格林函数只与负荷勒夫数h′ _n和l′ _n相关，而与k′ _n无关．为了便于海潮负荷的研究，将负荷质量置于球坐标的极点N(即北极)． 由于对称性，只有4个非零应力分量的海潮负荷格林函数(许厚泽，2010)

式中，μ和λ为拉梅(Lamé)常数，由地球模型给出，是r的函数；y₁对r的导数可以通过式(1)求得，它是y₁，y₂和y₃以及拉梅常数的函数． P_n是勒让德(Legendre)多项式. 对于应变的负荷格林函数可以通过应力-应变的关系求得，也可通过垂直和水平位移求得，即

同样,y₃对r的导数也可以通过式(1)求得，它是y₁，y₃和y₄以及拉梅常数的函数．

1.3   海潮负荷计算

上述负荷格林函数是基于位于北极点的负荷的，而实际上海水负荷质量是全球分布的，因此在实际计算时需要将每个单元负荷质量对应力的影响进行坐标变换并进行叠加，即将以负荷质量所处位置为北极的坐标系转换到地球坐标系(图1)． 图1中N表示地球的北极，A表示负荷质量所处位置，B是计算点，则以负荷点为北极的坐标系下的应力张量为

根据应力的坐标变换公式即可求出在地球坐标系下的应力张量的各个分量，其转换矩阵为

即以B点处的r轴为旋转轴，逆时针旋转α角度，可得在地球坐标系中6个独立的应力格林函数为

由式(9)可以看出，除了rr分量的格林函数外，其它分量的格林函数都与方位角有关． 因此，由此计算的海潮负荷应力分量也不像rr分量那样，只与负荷所在位置和计算点之间的角距离有关．

图  1  球面坐标示意图

Figure  1.  Sketch map of spherical coordinate

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有了负荷格林函数，就可以计算海潮负荷的影响. 其计算公式(Agnew，1997)为

式中，L是负荷应力，ρ_w是海水密度，H是海潮的瞬时潮高，G是式(9)表示的格林函数． 计算时，我们采用NAO99b全球海潮模型(Matsumoto et al，2000)，并采用积分格林函数方法，其定义(Goad，1980；Agnew，1997)为

通过求出的y₁，y₂，y₃和y₄，以及勒让德函数及其导数，就可以算出积分格林函数(Zhou et al，2013)． 由于格林函数在近区的变化比较剧烈，因此近区的积分负荷格林函数的计算需要非常小的积分步长．

2.   数值结果

我们首先采用PREM地球模型（Dziewonski,Anderson，1981；汪汉胜等，1996）进行计算，获得了地球地表及内部的负荷勒夫数（图2）． 由图2可知： 当阶数很大时，地球内部的负荷勒夫数都趋近于0，这与地表的负荷勒夫数有很大的不同；当深度变大时，负荷勒夫数随着阶数的增大更快地趋近于0，这是因为它们都含有(r/R)ⁿ的因子．

图  2  地球地表及内部负荷勒夫数随球谐阶数的变化

Figure  2.  Changes of surface and internal load Love numbers with harmonic degree

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通过负荷勒夫数，我们就可以计算获得积分负荷格林函数，在此过程中我们运用了增强级数收敛的方法（Farrell，1972），并且积分步长也采用随角距离而变化的值（表1），在近区采用较小的步长，在远区采用相对大一点的步长．

表  1  计算积分负荷格林函数的积分步长

Table  1.  Steps for computation of the integrated load Green’s functions

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图3给出了不同深度处的4个独立积分负荷格林函数. 由于分成4种积分步长，函数值变化达几个数量级，因此为了看清各部分的细节，分成4个部分分别显示． 从图3可以看出： 深度越小，近区的积分负荷格林函数值越大，而远区的函数值则越小；深度越大，积分负荷格林函数最大值出现的地方离负荷点越远，但是其幅度要比深度小的最大值小；对于ψψ和αα分量，当角距离小于10°时，积分负荷格林函数值对深度比较敏感；当角距离超过10°时，对于不同深度的积分负荷格林函数值基本保持一致; 而对于rr和rψ分量，无论是在远区还是在近区，函数值对深度都异常敏感．

图  3  不同深度处的积分负荷格林函数

Figure  3.  The integrated load Green’s functions for different depths

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由于海潮负荷的影响与计算点到海洋的距离有非常大的关系，因此我们选择了近海的上海台和远离海洋的武汉台分别计算了海潮负荷对应力潮汐的影响(取2013年1月1日为中心的40小时时间段,开始于2012年12月31日4时)，结果如图4和图5所示．

图  4  海潮负荷对武汉台不同深度处的应力潮汐变化的影响

Figure  4.  The effect of ocean tide loading on tidal stress in different depths at Wuhan station

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图  5  海潮负荷对上海台不同深度处的应力潮汐变化的影响

Figure  5.  The effect of ocean tide loading on tidal stress in different depths at Shanghai station

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由图4可知： 对于远离海洋的武汉台，海潮负荷对应力潮汐的影响量级在10²—10³ Pa之间，呈现半日波的特征；总体说来，海潮负荷对浅部的应力影响很小，而对深部的应力影响较大，这一点也可从图3中远区的格林函数看出；除了λλ分量外，尽管在同一个经纬度，但是在不同深度处，海潮负荷对应力潮汐影响的相位是不一致的，有些深度甚至是反相的，这反映了深度对于海潮负荷应力潮汐计算的重要性．

图5给出了海潮负荷对上海台不同深度处应力潮汐变化的影响. 通过与图4对比可以看出,除了表现为半日波特征外明显不同： 海潮负荷对应力潮汐的影响量级在10³—10⁴ Pa之间，比在武汉台的影响大一个数量级；rr分量的应力潮汐振幅随深度增大而减小，这正好与武汉台相反；3个正应力潮汐的相位随深度的变化而保持不变，而切应力潮汐的相位随深度变化有很大的不同，有些也出现反相的情形． 同样，图6和图7给出了上述两个台海潮负荷对应变潮汐的影响. 由于切应变与应力只相差一个比例系数2μ，因此其变化特征与应力相同，所以图中只给出了正应变的结果． 对比两图可知： 海潮负荷对武汉台的应变潮汐影响的振幅在10^-9，而对上海台的影响振幅在10^-8—10^-7； 对于远离海洋的武汉台，海潮负荷对其深部的应力影响较大，而对其浅部的影响较小，对于离海洋较近的上海台情况正好相反；对于武汉台，海潮负荷对θθ分量的正应变潮汐影响的相位随深度变化较大，而对其它两个分量的正应变潮汐影响的相位基本不随深度变化；对于上海台，海潮负荷对3个正应变潮汐影响的相位基本都不随深度变化，这是因为近区的影响占主导地位，它确定了正应变潮汐的相位，这也可从图3的积分负荷格林函数看出，近区的影响要比远区的影响大得多．

图  6  海潮负荷对武汉台不同深度处的应变潮汐变化的影响

Figure  6.  The effect of ocean tide loading on tidal strain in different depths at Wuhan station

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图  7  海潮负荷对上海台不同深度处的应变潮汐变化的影响

Figure  7.  The effect of ocean tide loading on tidal strain in different depths at Shanghai station

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3.   讨论与结论

本文介绍了海潮负荷对应力和应变潮汐的影响，并计算了地球内部的负荷勒夫数及负荷格林函数． 通过积分格林函数方法计算了海潮负荷对武汉台和上海台不同深度处应力和应变潮汐的影响，并分析了其变化特征．

地球内部的负荷勒夫数与地表负荷勒夫数具有不同的变化特征，随着深度的增加，高阶负荷影响所起的作用越来越小． 除了与海洋的距离之外，深度也是影响海潮负荷大小的重要因素． 本文给出的负荷格林函数的结果表明： 在计算点附近的区域，应力负荷的影响随深度增大而减小；而对于远离计算点的区域，应力负荷的影响则随深度增大而增大．

海潮负荷对应力和应变的影响是负荷格林函数与海潮潮高的全球积分，沿海地区的海潮负荷影响的量级甚至超过了固体潮影响的量级． 与固体潮不同，由于海潮空间分布的不规则性，导致了计算的海潮负荷的应力和应变分量在沿海和内陆台站各分量的复杂性，与计算点所处的位置有很大的关系． 对于应力或应变的某些分量来说，深度也会影响其时间变化序列的相位．

应力和应变测量是地震研究的重要手段，分析地震断层面上的潮汐应力对潮汐触发地震的研究以及地震监测预测研究也具有非常重要的意义，而海潮负荷的影响又是潮汐应力中的重要组成部分，因此海潮负荷的影响就显得非常重要，本文结果为计算海潮负荷对应力和应变的影响以及影响量级和特征提供了有益的参考．

审稿专家为本文提出了具有建设性的意见,在此表示感谢．