Simulation on the amplification effect of a three-dimensional alluvial basin on the earthquake ground motion using the indirect boundary element method
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摘要: 基于一种高精度间接边界元法(IBEM)， 实现了沉积盆地三维地震响应的频域、 时域精细求解， 并以半空间中椭球形沉积盆地对平面P波和SV波的散射为例， 着重探讨了入射角度、 入射波型、 入射频率、 盆地长宽比和深宽比对沉积盆地地震动放大效应的影响规律． 结果表明： 盆地形状对地震波的放大效应和空间分布状态具有显著影响， 且具体规律受控于入射波频段． ① 随着盆地深度增大， 盆地边缘面波发育更为充分， 在较宽频段内均会出现显著的地震动放大效应， 且深盆地的放大区域集中于盆地中部． ② 圆形盆地对地震波的汇聚效应最为显著， 而狭长盆地对地震波的汇聚作用相对较弱， 高频情况下可在盆地内部形成多个聚焦区域． ③ 不同波型入射下， 盆地对地震动放大效应的机制有所差异： P波入射下， 竖向位移放大主要是由于盆地边缘面波由四周向中部汇聚所致； SV波入射下， 边缘面波汇聚效应相对较弱， 而当盆地较深时， 底部透射体波和边缘面波易形成同相干涉从而显著放大地震动． 按盆地内外介质波速比为1/2， P波和SV波垂直入射下频域最大放大倍数分别为25和15， 时域放大倍数约为4.0和3.7(雷克子波)． ④ 低频波入射下， 位移从盆地中部向边缘逐渐减小， 且浅层沉积盆地对地表位移幅值的放大作用不明显． ⑤ P波和SV波的入射角度对盆地地震动放大幅值及空间分布特征也具有显著影响．
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关键词:
- 盆地边缘效应 /
- 地震波 /
- 散射 /
- 间接边界元法(IBEM) /
- 聚焦效应
Abstract: Based on the indirect boundary element method (IBEM) with high precision, this paper solves the seismic response of a three-dimensional sedimentary basins both in the frequency domain and time domain. Taking the scattering of plane P and SV waves around an semi-ellipsoidal three-dimensional sedimentary basin as an example, the amplification effects of incident angle, wave type, incident frequency, length-width ratio and depth-width ratio of the basin on the ground motion are investigated in detail. The numerical results show that the basin shape has a significant impact on the amplification effect of seismic waves and the spatial distribution characteristics, and the detail effect also strongly depends on the frequency band of incident wave. In particular, as the basin depth increases, edge-generated surface waves become dominant, significant ground motion amplification effect can be observed for a wider band, and amplification area is mainly located in the middle of basin. The seismic wave focusing effect within the circular basin seems most significant, while that within long-narrow basin seems relatively weak, and multiple wave-focused areas appear within the basin for incident high-frequency waves. The amplification mechanism of basin effect on ground motion is different for different types of waves: for incident P waves, significant amplification of vertical displacement in the middle of basin can be mainly attributed to the focusing of surface waves generated from the basin edge; as for SV wave incidence, the surface wave focusing effect is relatively weak, but when the basin is deep, constructive interference of transmitted body waves and edge surface waves tend to result in a considerable amplification effect. For the wave-velocity ratio 1/2 between the alluvial basin and the bedrock, amplification factors of P and SV waves can reach up to 25, 15, respectively in frequency domain, and to 4.0, 3.7, respectively in time domain (Ricker waves). As for the low frequency waves, the displacement amplitude decreases from the basin center to basin edge, and the amplification is not obvious for the shallow basin. In addition, the angle of incidence also has significant impact on the amplitude and spatial distribution characteristics of ground motion. -
引言
国内外有众多经济繁荣、 人口密集的城市往往坐落在沉积盆地中． 多次地震观测和震害调查表明，沉积盆地对地震动具有显著影响(Anderson et al，1986; 王海云，2011)，具体表现在盆地的边缘效应和盆地内部地震波的聚焦放大效应，其本质源于地震波在传播过程中发生复杂的散射(衍射)、 波型转换以及相干作用的产生． 对该问题的定量分析方法整体上可以分为解析法(Trifunac，1971; Yuan，Liao，1995; 梁建文等，2003)和数值法． 数值法的应用方面，有限单元法(景立平等，2006； Chen et al，2015)、 边界单元法(梁建文，巴振宁，2007； Luzón et al，2009)和离散波数法(Kawase，Aki，1989)被用于二维沉积盆地对地震波散射或地震响应方面的研究，其中王建龙等(2014)利用解耦的近场波动数值模拟方法初步探讨了二维理想盆地模型的水平方向地震动峰值放大倍数与盆地深度的关系． 三维模型方面： Lee(1984)采用球波函数展开法求解了半球形沉积盆地对波的散射，但方法精度仅限于低频解答； Mossessian和Dravinski(1990)以及Sánchez-Sesma和Luzón(1995)采用间接边界积分方程法给出的半空间中三维沉积盆地对地震波散射的结果表明，三维散射与二维散射有着显著的差异，实际场地分析须考虑三维盆地效应；赵成刚和韩铮(2007)针对半球形沉积盆地对瑞雷波的散射进行了解析求解； 张冬丽等(2007)以昆明盆地为例，采用将相邻介质分界面在深度方向上逐层叠加的方法建立了三维物理模型； 刘启方等(2013a)通过钻孔方法测得土样参数，建立了施甸盆地的三维速度结构模型.近年来，基于有限元法(陈学良等，2011)、 边界元法(Chaillat et al，2009)、 有限差分法(Olsen，2000)、 谱单元法(Lee et al，2008; 刘启方等，2013b)针对某实际三维沉积盆地地震响应进行的计算模拟也较多，更多的研究成果以及对这些数值方法的评述请参阅Sánchez-Sesma等(2002)和李铁飞等(2013)．
对于沉积盆地放大效应的参数研究，Bouchon(1973)，Zhao和Valliappan(1993)以及Kamalian等(2007)均对二维情况下地震响应的基本规律进行了分析． 由于受计算条件和方法所限，关于现实中常见的三维沉积盆地对地震波的放大机理分析，目前的研究还不够系统深入，Mossessian和Dravinski(1990)也仅针对两种地形参数的沉积盆地对地震波散射进行了模拟分析． 实际上，盆地内沉积层的深浅、 开阔状态对地震波在盆地内部的衍射、 反射及相干效应均有重要影响，对此有必要通过高精度数值模拟，定量地进行系统的参数分析和规律探讨．
鉴于此，本文拟采用一种高精度间接边界元法(indirect boundary element method，简写为IBEM)(Sánchez-Sesma，Luzón，1995)，基于Intel Fortran编译平台编程计算，对一半椭球形三维沉积盆地对地震波的散射问题进行精细的频域、 时域参数分析，定量地讨论入射角度、 入射波型、 入射波频率、 盆地的长宽比和深宽比等参数对地震波散射的影响规律，以期计算结果可为其它方法提供对照案例，研究结论可为盆地区域的城市规划、 地震区划、 大型工程抗震设计等提供部分理论依据．
1. 计算模型
半空间内存在一半椭球形三维沉积盆地，以盆地表面中心为原点建立坐标系，如图 1所示，其几何形状表达如下：
(1) ![]()
图 1 三维沉积盆地计算模型(a)三维视图，图中R为沉积盆地域，E为半空间域，S0为沉积域与基岩半空间域的交界面，S1为沉积内部地表，S2为外部半空间地表；(b)平面投影和竖向剖面；(c)单元网格离散Figure 1. Calculation model for a three-dimensional alluvial basin(a)Three-dimensional view. R is the sedimentary basin domain，E is a half-space domain，S0 is the interface between the sedimentary basin domain and bedrock half-space domain，S1 is the surface of sedimentary basin interior，and S2 is the surface of outer half-space;(b)Planar projection and vertical section;(c)Element discretization式中： 2ax和2ay分别代表盆地中沿x和y方向的最大水平尺寸，h为盆地最大深度． 为便于讨论，下文计算中均假设沉积盆地沿x轴的宽度2ax保持不变．
关于盆地几何形状因素的讨论包括两个方面，即长宽比D=ay/ax和深宽比S=h/ax . 半空间域和沉积域介质均假设为线弹性、 均匀各向同性． 地震波(P波，SV波)沿z轴入射，在沉积交界面将发生散射． 本文采用基于全空间格林函数的间接边界元法，离散单元如图 1c所示，这里采用四边形单元离散盆地表面及其附近的部分半空间表面．
弹性波具有空间衰减效应，随着与盆地距离的增大，波的散射效应逐渐减弱，地表离散范围一般取5倍波长即可满足精度要求，本文取离散范围为4ax．为了保证散射波场模拟的精确性，一个波长至少要被离散为10个单元，且文中均已经过多次不同离散程序的计算对比，结果已收敛． 另需指出，本文方法适用于任意形状的盆地，为便于讨论，本文暂以椭球形盆地为例进行计算．
2. 计算方法
2.1 频域响应计算
以半空间中三维沉积盆地对入射波的散射为例，阐述间接边界元法的原理与实现步骤． 考虑平面波(P波，SV波)入射，基于单层位势理论，在边界表面上施加3个方向正交的虚拟荷载以构建散射场； 进而根据自由边界应力为零和交界面(盆地与半空间)应力位移协调条件建立方程，求解方程组得到虚拟荷载密度； 然后由各个单元上的虚拟荷载密度综合作用得到散射场； 最后散射场与自由场叠加得到总波场．
在不受体力作用情况下，弹性波在各向同性弹性固体介质中的位移场u满足波动方程
(2) 式中，u=(u，v，w)为位移矢量，λ和μ为介质的拉梅常数，▽2为拉普拉斯算子，ω为简谐波频率，时间因子exp(iωt)已略去．
基于单层位势理论，三维空间内任一点的位移场可表示为某边界连续面上的积分，即
(3) 式中： Gij(x，ξ)为位移格林函数，表示在ξ处j方向上作用一个单位力，在x处产生的i方向上的位移；φj(ξ)表示在ξ处j方向上的荷载密度，表征S面上ξ处的虚拟分布力强度．
相应地，空间内任意点的牵引力为
(4) 式中，非积分项cφj(ξ)是对ξ趋于x时积分奇异性的特殊处理． 本方法中采用一等效斜面圆盘覆盖于离散单元上(两者面积相等)，在圆盘上施加虚拟均布荷载． 根据全空间的介质对称性，取c=±0.5，符号由法向量方向而定． Tij(x，ξ)为应力格林函数，表示在ξ处j方向上作用一个单位力，在x处产生的i方向上的应力． 位移和应力格林函数的具体计算公式请参见Sánchez-Sesma和Luzón(1995)．
2.1.1 波场分析
根据间接边界元法的基本原理，首先将总波场分解为自由场和散射场． 自由波场为不含盆地时弹性波入射基岩半空间的波场解答； 散射波场则基于惠更斯原理，在盆地交界面和自由地表上施加虚拟均布荷载而产生．
基岩半空间总波场由自由场和散射场叠加得到，盆地内部只有散射场，则各域位移场表述如下：
在半空间域，
(5) 在盆地内部，
(6) 式中，uf表示自由场产生的位移，uEs和uRs分别表示半空间和盆地内部散射场产生的位移．
1) 自由波场
为方便分析，这里仍采用二维平面应变输入，入射平面P波和SV波函数分别为
(7) 
(8) 半空间表面反射波的势函数为
(9) 
(10) 式中： 反射系数A2和B2可参考Kawase和Aki(1989)； kα1和kβ1分别为纵波和剪切波的波数； θα和θβ分别为纵波和剪切波的入射角．
2) 散射波场
根据式(3)，散射波场的位移为
(11) 
(12) 2.1.2 边界条件及求解
总波场需满足的3个边界条件分述如下：
1) 沉积盆地地表S1与半空间地表S2的应力自由边界条件为
(13) 
(14) 将式(4)代入式(13)和(14)可得
(15) 
(16) 式(16)中，在半空间地表S2上，自由场应力为空．
2) 沉积交界面的位移应力边界条件为
(17) 
(18) 将式(11)和(12)分别代入上述两式可得
(19) 
(20) 求解问题时需离散整个盆地的交界面和自由地表，并在每个单元上施加虚拟均布荷载． 单元上覆盖的斜面圆盘中心位置为xm，虚拟荷载中心设为yn． 设盆地外部半空间表面、 沉积上表面的总单元数分别为N1和N2，沉积与半空间交界面上的单元数为N0，则式(15)，(16)和式(19)，(20)可分别离散化为
(21) 
(22) 
(23) 
(24) 方程(21)—(24)最终可整理形成(6N0+3N1+3N2，6N0+3N1+3N2)阶线性方程组，求解该方程组即可得到各离散单元上虚拟荷载密度φj(ξ)的值，再通过式(5)和(6)计算得到总位移场．
2.2 时域响应计算
通过2.1节的频域间接边界元方法可以得到不同离散频率点的弹性波散射结果，进而可通过傅里叶变换得到时域结果． 假设弹性波以雷克(Ricker)子波的形式入射，在时间域里位移的表达式为
(25) 式中，tp表示雷克子波的卓越周期． 对上式进行傅里叶变换即可得到雷克子波在频率域里的表达式为
(26) 3. 方法验算
3.1 频域计算检验
为了验证程序编制的正确性，以半球形弹性均质沉积盆地为例，对本文结果与Mossessian和Dravinski(1990)给出的结果进行对比． 计算中，半空间和沉积盆地的泊松比均为1/3，沉积内外剪切波速比为0.5，密度比为2/3，材料黏滞阻尼比为0.01，无量纲频率取η=2a/λ=ωa/πcS=0.75，其中a为球体半径，cS为半空间剪切波速． 对比结果如图 2所示，可以看出，本文所示方法的结果与Mossessian和Dravinski(1990)的结果吻合得很好，由此验证了本文方法的精度．
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图 2 本文结果与Mossessian和Dravinski(1990)所得地表位移幅值的对比Figure 2. Surface displacement amplitudes of a hemisphere alluvial valley in half-space for P wave incidence in this paper compared with the results of Mossessian and Dravinski(1990)3.2 时域计算检验
同样以半空间中半球形沉积盆地为例． 所取参数与3.1节的频域验证相同，入射SV波沿z轴入射，中心频率η=0.5. 为计算时域结果，无量纲频率取为0, η＜1.5，在该区间内平均取50个频率点． 图 3给出了本文方法计算的时域结果．图中横坐标为无量纲时间因子τ=tcS/a，纵坐标为位移幅值相对入射波的放大倍数，图中右侧刻度给出了单位放大倍数规模． 通过图 3与Mossessian和Dravinski(1990)文中计算结果对比可知，两种结果吻合良好，由此证明本计算方法的精确性．
4. 参数分析
基于间接边界元法，以半椭球形沉积盆地为例，研究入射角度、 入射波型(P波，SV波)、 入射频率η、 盆地深宽比S、 长宽比D对三维盆地周围地震波散射的影响． 盆地和半空间介质的泊松比均取为ν=1/3，半空间介质与沉积盆地波速比为2，剪切模量比为6．为确保散射波场模拟的精确性，一个波长至少要被离散为10个单元． 对于平面投影为圆形的盆地，当S为0.5，1.0，2.0时，单元数分别取5719，8217，12097； 盆地长宽比D为2.0和5.0时，单元数分别取17013和33158．
4.1 三维沉积盆地在P波和SV波入射下的地表位移云图
首先考虑形状变化对地震动放大效应的影响，分两种情况： 其一为保持长宽比D=1.0不变，变化深度，S=0.5(浅椭球)，1.0(半球)，2.0(深椭球)； 其二为保持深宽比S=0.5不变，变化长宽比，D=1.0，2.0，5.0． 同时，考虑不同频率P波和SV波入射下的散射结果，其中无量纲频率η=0.5，1.0，2.0，3.0．
图 4和图 5分别给出了P波和SV波以不同角度入射时，不同深宽比和长宽比的半椭球形沉积盆地的地表位移幅值云图．
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图 4 P波入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地的地表位移幅值云图(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(浅椭球盆地)：(a1)垂直入射(θ=90°)，(a2)斜入射(θ=60°)(b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(半球沉积盆地);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(深椭球盆地); (d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(较狭长盆地);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(狭长盆地)Figure 4. The surface displacement amplitude cloud images in alluvial basin with different depth-width ratios S and length-width ratios D for incident P waves(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(shallow ellipsoid basin)： (a1)Vertical incidence(θ=90°)，(a2)Oblique incidence(θ=60°)(b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(deep ellipsoid basin);(d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(narrow basin)![]()
图 5 SV波入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地的地表位移幅值云图(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(浅椭球盆地):(a1)垂直入射(θ=90°)，(a2)斜入射(θ=60°); (b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(半球沉积盆地);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(深椭球盆地); (d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(较狭长盆地);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(狭长盆地)Figure 5. The surface displacement amplitude cloud images in alluvial basin with different depth-width ratios S and length-width ratios D for incident SV waves(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(shallow ellipsoid basin):(a1)Vertical incidence(θ=90°)，(a2)Oblique incidence(θ=60°);(b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(deep ellipsoid basin)(d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(narrow basin)由图 4可知，对于不同形状的沉积盆地而言，其地表位移幅值及其空间分布状态差异很大． 图 4a，b，c给出了平面投影为圆形(D=1.0)且保持不变的情况下，深宽比改变所得到的位移幅值结果，可以看出： ① P波垂直入射下不同深度圆形盆地的放大区通常位于中部区域，由于散射波的相干效应，高频波(η=2.0，3.0)入射下盆地内部会出现多个波峰波谷交错的现象，而低频波(η=0.5)情况下，仅在中部出现单一峰值，且由中部向边缘逐渐减弱； ② 位移聚焦效应随深度变大而更加集中，一般位于中心区域，尤其是对于高频情况(η=2.0，3.0)，深层盆地的位移聚焦效应更为显著，例如当η=3.0，S=2.0时，地表位移峰值接近16.0(图 4c)； ③ 当盆地较浅，垂直入射波频率较低时，盆地的放大效应不太明显，例如当S=0.5，η=0.5时，地表位移幅值基本上与自由场相近(图 4a1)．
进而令深宽比S=0.5不变，考虑长宽比改变，平面为扁椭圆盆地(D=2.0，5.0)的位移幅值结果如图 4d，e所示，可以看出： ① 垂直入射波频率较低时，聚焦位置一般发生在中心区域，但是随着频率增大，聚焦区域逐渐增大，且分布更为分散； ② 随着平面投影更为狭长，地表位移的聚焦区域也更多，且更分散. 此外，通过圆形盆地(图 4a1)与狭长盆地(图 4d，e)的比较可知，圆形盆地的聚焦位置一般在中心区域，更容易汇聚地震波，形成更强的地震动，而狭长盆地中波能更为分散，地表则会出现多个位移聚焦点； ③ 三维汇聚效应相对减弱，位移峰值一般出现在长轴两端部附近． 沿长轴方向中部由于接近于平面应变状态，其放大程度通常会小于三维放大效应，如图 4e所示，当η=2.0时沿长轴方向端部的位移峰值和中部峰值分别为9.4和5.5．
图 4a给出了入射角度变化时位移幅值的变化情况，可以看出： 当P波垂直入射时，聚焦位置一般位于中心区域附近，而且位移值较大； 当P波斜入射时，位移峰值一般位于盆地右侧，且峰值一般小于垂直入射情况. 例如，对于az/ax=0.5和ay/ax=1.0的地形(图 4a)，当η=3.0时，垂直入射时的位移最大值为11.0，而斜入射时的位移最大值为9.4，这说明盆地地震动放大效应的空间分布受弹性波入射角的影响较大．
图 5给出了SV波垂直入射时地表位移幅值及其空间分布状态情况． 由图 5a，b，c可以看出，当长宽比D=1.0、 深宽比变化时，随着盆地深度的增加，位移放大幅度和空间分布均会发生显著变化，且变化规律同入射波频率直接相关． 如图 5a1所示，当频率较低(η=0.5)时，浅盆地的放大效应较弱，位移峰值仅为3.1，而相应情况下深盆地的峰值可达5.5，且放大区域集中于盆地中部． 由图 5a，b，c还可以看出，当高频波入射时，浅盆地中位移峰值较多分布于盆地角部，而随着盆地的加深，位移峰值区域则会向中部转移． 令深宽比S=0.5，长宽比变化时地表位移幅值的放大效应如图 5d，e所示，可以看出： 低频波时，狭长盆地位移峰值略大于圆形情况； 高频波(η=2.0，3.0)入射下，狭长盆地位移峰值则会小于圆形盆地，如图 5a1和图 5e所示，圆形盆地位移峰值为10.1和9.5(η=2.0，3.0)，狭长盆地为6.2和7.6． 此外，狭长盆地的内部位移空间分布更为复杂： 在较低频段，聚焦区域主要位于长轴连线上，而高频波入射情况下，则沿长轴两侧分布有多个位移放大区域． 因此实际沉积盆地的地震动模拟需充分了解盆地的地质构造、 边界形状以及基岩波的频谱特性． 在入射角变化的情况下，当SV波入射时，峰值区域与P波大体相同，但是，斜入射情况下的位移峰值明显大于垂直入射情况，原因在于SV斜入射角度接近临界角，地震放大效应最为显著．
4.2 三维沉积盆地地表位移幅值谱
由于沉积盆地对地震波的散射作用十分复杂，为了全面地反映散射的频谱特性，图 6和图 7分别给出了P波和SV波入射下沉积盆地地表沿x轴和y轴上几个典型点位的幅值谱，其中图 6的观察点取x轴上x/ax=0，0.1，0.5和0.8等4个点位的主方向位移谱，图 7取y轴上y/ay=0，0.1，0.5和0.8等4个点位的主方向位移谱． 由图 6和图 7可见，由于盆地对地震波的散射，再加上散射波复杂的相干效应，盆地地表的位移放大效应显著，且不同点位的地震动幅值和频谱特性差别很大． 频率较低(η＜0.5)时，所给几个典型点位的主方向位移幅值基本相同，而当η＞0.5时，不同点位的位移反应则相差很大．
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图 6 P波(左)和SV波(右)入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地地表x轴上(y=0)的位移幅值谱(a)D=1.0，S=0.5(浅椭球盆地)；(b)D=1.0，S=1.0(半球沉积盆地)；(c)D=1.0，S=2.0(深椭球盆地)；(d)D=2.0，S=0.5(较狭长盆地)；(e)D=5.0，S=0.5(狭长盆地)Figure 6. The displacement amplitude spectrum along x-axis(y=0)in alluvial basins with different depth-width S and length-width ratios D for incident P(left panels)and SV(right panels)waves(a)D=1.0，S=0.5(shallow ellipsoid basin);(b)D=1.0，S=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0(deep ellipsoid basin);(d)D=2.0，S=0.5(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5(narrow basin)![]()
图 7 P波(左)和SV波(右)入射下深宽比S=0.5时不同长宽比D沉积盆地地表y轴(x=0)上的位移幅值谱(a)D=1.0(浅椭球盆地)；(b)D=2.0(较狭长盆地)；(c)D=5.0(狭长盆地)Figure 7. The displacement amplitude spectrum along y-axis(x=0)in alluvial basins with depth-width ratio S=0.5 and different length-width ratios D for incident P(left panels)and SV(right panels)waves(a)D=1.0(shallow ellipsoid basin);(b)D=2.0(narrower basin);(c)D=5.0(narrow basin)图 6a，b，c给出了平面投影为圆形的盆地地表x轴上的位移幅值谱． 令长宽比D=1.0，考虑深宽比变化时，可以看出： ① P波和SV波入射下，随着盆地深度的增加，第一阶峰值频率降低，地表位移峰值频率点增多，频谱曲线震荡更剧烈，这是由于深层沉积盆地多阶自振频率的间隔较小所致； ② 地表靠近中心位置的位移谱值一般大于其它典型点位，这说明对于圆形盆地，中心位置的聚焦放大作用通常较边缘更为显著，基于图 6b中所示模型(盆地内外波速比为1/2)，P波入射下的竖向位移、 SV波入射下的水平位移谱峰值分别可达25.0和15.0； ③ P波入射时，地表位移幅值均在1.0—2.0频段内达到峰值，说明对于不同形状的盆地，在实际工程中应当特别重视该频段波的放大情况．
图 6d和e给出了平面投影为椭圆形的盆地幅值谱． 设深宽比S=0.5，考虑长宽比变化时，从总体上可以看出： 狭长盆地(D=2.0，5.0)的地表位移谱幅值一般都比圆形盆地(D=1.0)小，位移振荡更剧烈，出现更多的峰值频率点； SV波与P波比较，对于狭长盆地，两种波产生的地表位移峰值相差不大，但是对于圆形盆地，SV波产生的地表位移峰值较小，且位移谱曲线震荡更为剧烈．
考虑入射波的波型不同，对比图 6中的左侧图与右侧图还可以看出，P波和SV波入射地表的位移频谱特性差异很大，若将沉积盆地视为支撑在弹性基岩上的广义“结构物”，由于两种波型所激发的主振型不同，垂直入射下P波和SV波分别会激起正对称和反对称阵型，即由于沉积盆地所参与的主振频率不同从而导致“共振”频率点产生较大差别． 另外沉积盆地对SV波的位移放大效应总体上要弱于P波入射．
4.3 雷克波入射下沉积盆地地表位移时域响应
平面P波和SV波以雷克子波型垂直入射，沉积盆地地表位移反应的时程曲线分别如图 8和图 9所示，所取观察点分别位于x轴和y轴上． 入射波函数u(τ)=(2π2fc2τ2-1)×exp(-π2fc2τ2)，中心频率fc=ωax/πcS=1.0，无量纲时间因子τ=tcS/ax． 根据雷克波特性，峰值频率处入射波幅值最大，而主要能量一般集中在0—2.5fc范围内，其它频率的入射波幅值很小，其影响基本可以忽略，为了保证时域求解效率，本文无量纲频率取为0＜η＜3.0，在此区间内平均取100个频率点．
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图 8 P波(左)和SV波(右)入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地地表在x轴上(y=0)的位移时程(雷克子波型脉冲)(a)D=1.0，S=0.5(浅椭球盆地)；(b)D=1.0，S=1.0(半球沉积盆地);(c)D=1.0，S=2.0(深椭球盆地);(d)D=2.0，S=0.5(较狭长盆地);(e)D=5.0，S=0.5(狭长盆地)Figure 8. The surface displacement time history along x-axis(y=0)in alluvial basins with different depth-width ratios S and length-width ratios D for incident P(left panels)and SV waves(right panels)(Ricker pulse)(a)D=1.0，S=0.5(shallow ellipsoid basin);(b)D=1.0，S=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0(deep ellipsoid basin);(d)D=2.0，S=0.5(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5(narrow basin)![]()
图 9 P波(左)、 SV波(右)入射下，深宽比S=0.5、 不同长宽比D沉积盆地地表y轴上(x=0)的位移时程(雷克型脉冲)(a)D=1.0(浅椭球盆地)；(b)D=2.0(较狭长盆地);(c)D=5.0(狭长盆地)Figure 9. The surface displacement time history along y-axis(x=0)in alluvial basins with depth-width ratios S=0.5 and different length-width ratios D for incident P wave (left panels)and SV wave(right panels)(Ricker pulse)(a)D=1.0(shallow ellipsoid basin);(b)D=2.0(narrower basin);(c)D=5.0(narrow basin)整体上看，从时域图(图 8a，b，c)中可以看到清晰的震相，先到达的是P波、 SV波，然后产生面波，且盆地内部地表观测点入射波的到时比外部观测点有所延后，相应的时程响应幅值明显大于盆地外部．
图 8a，b，c给出了盆地长宽比D=1.0、 深宽比变化时的位移时域响应，可以看出： ① 随着盆地深度的增大，沉积内部x轴和y轴上的地表观测点入射波到达的延迟时间更长，原因在于，盆地内部波传播速度较慢，随深度增加入射波到达盆地地表时间更长； ② 盆地越深，位移时程峰值越大，会容易产生更强的面波汇聚于盆地中部，从而形成大幅值、 长持时的地震动． 如图 8a，c所示，P波入射下的深盆地和浅盆地位移响应峰值分别达到4.0和2.5，SV波入射相应为3.7和1.8，说明盆地对地震波放大作用显著依赖于沉积层厚度，高孟潭等(2002)采用三维有限差分法模拟北京地区的地震动也得到了相似的结果．
考虑长宽比变化，对于相同深度的盆地(S=0.5)： ① 比较圆形、 较狭长、 狭长盆地的时域结果可知，D=5.0狭长盆地的位移时程峰值小于其它两种地形． 如图 8a，e所示，圆形盆地和狭长盆地的时域位移峰值分别可达入射波峰值的2.5倍和1.6倍，其原因见前面频域分析． 这表明当覆盖层厚度一致时，狭长盆地与圆形盆地相比不易形成更大的地震动，该结论与刘启方等(2013b)对施甸盆地的三维地震动模拟结果一致． 需要注意的是，SV波入射下y轴上的位移峰值，对于狭长形和圆形两种盆地相差并不大，这主要是由于频谱图上fc=1.0(中心频率)附近狭长形情况盆地位于共振频率段． ② 比较较狭长盆地与狭长盆地的x轴和y轴上的地表位移时程曲线可知，长轴(y轴)上边缘面波转换效应非常明显，能看到清晰的“X”型行波图，且传播时间较长． 由于沉积内部刚度较弱，外部阻抗相对较大，面波将在盆地内部来回反射几次，然后逐渐减弱．
值得注意的是，图 8中，P波与SV波入射下沉积盆地内部地震动的放大机制具有较大差别． 由图 8a，b，c可以看出： ① P波入射3种深度时，位移时程峰值均会出现在第二个波峰，经震相分析可知该峰值主要由盆地边缘面波向中心汇聚所致(圆形盆地周边来的面波传播到中心正好同相，并在竖向上叠加)； ② SV波入射下，浅椭球、 半球和深椭球盆地的位移峰值出现在第一个波峰，主要由底部透射来的体波产生，而对于深椭圆盆地而言，从盆地底部传播过来的体波和边缘汇聚过来的面波几乎同时到达盆地中部，从而形成了比较大的水平地震动． 由此可以推断： 当P波入射时，地震动放大效应主要源于盆地边缘激发的面波在盆地内部的汇聚作用，汇聚位置主要取决于盆地形状； 而当SV波入射时，边缘转换面波在盆地内部的汇聚效应相对弱于P波(从盆地边缘各方向来的面波引起的水平振动方向比较分散)，仅当盆地较深导致体波与面波叠加时才会出现显著的放大效应． 通常深盆地边缘激发的面波能量更大，因而导致盆地内部的放大效应更为显著． Mossessian和Dravinski(1990)在研究盆地效应时对SV波的放大规律得出了相似的结论，但未澄清P波与SV波所产生放大效应的机制差异．
另外，比较P波与SV波垂直入射下盆地内部主方向位移时程(图 8a，b，c)，很容易发现P波入射下沉积盆地竖向位移的放大程度明显大于SV波入射下水平位移的放大程度，前文的频谱分析同样揭示了这一点． 沉积盆地中竖向地震动若采用普通场地的量度标准(取水平地震动的1/2—2/3)，可能会低估竖向地震动的影响，因此对于沉积盆地(河谷)中的大跨、 悬挑以及高耸结构、 超高层建筑等的抗震设计，对此则要慎重考虑．
4.4 Tar-Tarzana波入射下三维沉积盆地地表加速度时域响应
假设SV波以Tar-Tarzana波型从盆地外部基岩半空间垂直入射，考察自由场沿x方向的振动． 各参数同4.1节，盆地半径ax=500 m保持不变，变换相应的深宽比和长宽比; 半空间介质泊松比取为ν1=1/3，剪切波速为β1= 1000 m/s，密度为ρ1=1500 kg/m3，黏滞阻尼系数ξ1=1.0%； 沉积介质泊松比取为ν2=1/3，剪切波速为β2=500 m/s，密度为ρ2=1000 kg/m3，黏滞阻尼系数ξ2=1.5%． 该地震记录时间间隔为0.02 s，记录时间为30 s，调幅后的加速度时程如图 10所示(加速度反应谱最大值调整为0.2 m/s2)． 图 11给出了Tar-Tarzana波(SV波)垂直入射下不同形状沉积盆地的加速度反应谱，观察点位于x轴上，分别取x/ax为0，0.1，0.5，0.8．
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图 11 Tar-Tarzana波(SV波)垂直入射下不同深宽比S、 长宽比D三维沉积盆地内部典型点位水平向(y=0)加速度反应谱Figure 11. Acceleration response spectrum in horizontal direction(y=0)of typical points within the 3D alluvial basins with different depth-width ratio S and length-width ratio D for incident Tar-Tarzana waves with θ=90°(a)S=0.5，D=1.0;(b)S=1.0，D=1.0;(c)S=0.5，D=2.0图 12给出了Tar-Tarzana波垂直入射三维沉积盆地地表水平方向加速度时程曲线． 由该图可知，浅圆盆地中心位置的加速度反应谱峰值达到11.8 m/s2(周期T=0.38 s处)，约为基岩波幅值的6倍． 与半球形盆地相比较，Tar-Tarzana波输入下，浅层盆地的放大效应更为显著，加速度时程曲线震荡更剧烈，出现更多的峰值点． 这是由于该波以较高频率分量为主，而在高频波段，浅盆地对地震加速度的放大效应起了主要作用(若仅考虑0—3 Hz频段，计算结果显示半圆盆地要大于浅圆盆地)． 但从反应谱曲线来看，当周期T＞0.4 s时，浅圆盆地内部地表反应谱值小于半圆盆地情况，这是由于较深盆地对较长周期波的放大效应更为显著，但对短周期波反而表现为滤波效应． 另外，狭长盆地地震加速度峰值(图 12c)明显小于圆形盆地，其原因在于圆形盆地对地震波的汇聚作用更大，容易形成更强的地震动． 通过比较不同点位可知，总体上，盆地中心位置的放大作用较明显，然而随着与盆地中心距离的增加，各点位上的放大作用逐渐减小．
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图 12 SV波入射下沉积盆地地表(y=0)加速度时程(输入Tar-Tarzana地震波)(a)S=0.5，D=1.0(浅椭球盆地)；(b)S=1.0，D=1.0(半球沉积盆地); (c)S=0.5，D=2.0(较狭长盆地)Figure 12. The acceleration time histories along x-axis within the alluvial basin for incident SV waves(Tar-Tarzana wave)(a)S=0.5，D=1.0(shallow ellipsoid basin);(b)S=1.0，D=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)S=0.5，D=2.0(narrower basin)5. 讨论与结论
本文以半椭球形三维沉积盆地为例，采用高精度间接边界元法对其地震反应进行计算分析，研究了入射角度、 入射波型、 入射波频率、 盆地深宽比、 长宽比对地震响应的影响，揭示了三维沉积盆地对P波和SV波放大机制的差异． 研究表明，三维沉积盆地地震响应规律显著依赖于盆地的平面长宽比和深度，具体影响规律同时受控于入射角度、 波型和频率.
整体上看，随着盆地深度的增加，盆地边缘面波发育更为充分，且更利于底部透射的体波和边缘转换面波的同相干涉，导致地表位移峰值显著放大．
盆地内部P波的放大程度要大于SV波，且P波与SV波入射下盆地内部地震波聚焦的放大机制有较大区别． P波入射下，竖向位移放大效应主要源于盆地四周边缘面波向中心的汇聚效应； SV波入射下，边缘面波的中心汇聚效应相对较弱，而当盆地较深时，体波与面波的叠加使得放大效应十分显著．
圆形盆地中P波和SV波的汇聚效应十分显著，地震动放大区域集中于盆地中部； 狭长盆地中波的散射方向较为分散，汇聚效应弱于圆形盆地，在其长轴端部的放大效应则相对较强．
较低频波(η＜0.5)入射时，盆地内部地震波的聚焦范围较广，但放大程度较弱，特别是浅盆地放大效应不明显． 高频波入射时，圆形盆地内部出现了多个波峰波谷，且局部聚焦增强； 狭长盆地位移空间分布更为复杂，在盆地长轴或其附近形成多个聚焦区域．
当弹性波垂直入射时，位移峰值一般位于盆地中心区域附近； 当弹性波斜入射时，位移峰值一般位于盆地右侧． P波垂直入射情形下的位移峰值大于斜入射情形，而对于SV波垂直入射情形下的位移峰值明显小于斜入射，即波的入射角度对盆地地震动的放大幅值及空间分布特征会产生显著的影响．
按照本文盆地内外波速比为1/2，P波和SV波垂直入射下频域放大倍数最大可达25和15． 雷克型子波(中心频率η=1.0)入射下，P波和SV波的最大时域放大倍数分别约为4.0和3.7．
Tar-Tarzana波垂直入射某小尺度浅球型三维沉积盆地时，盆地内加速度反应谱峰值达到基岩波的6倍，且浅球盆地与半球形盆地相比，高频段加速度放大效应更为显著； 随着盆地深度的增加，反应谱长周期段的放大更为显著．
本文研究表明盆地内沉积层的深浅、 开阔状态对地震波在盆地内部的衍射、 反射及相干效应有重要影响，其计算结果可为其它方法提供对照案例，结论可为盆地区域的城市规划、 地震区划、 大型工程抗震设计等重要工作提供部分理论依据．
需要指出的是，由于篇幅所限，本文假设盆地内外均为均匀弹性介质，而实际上盆地内的波速结构和入射波特性均十分复杂，对三维盆地内部波速竖向变化、 近地表软弱层、 中间软(硬)夹层存在的影响以及强震非线性尚待进一步深入讨论． 另外，时域响应分析结论主要针对小型盆地算例，对大尺度盆地尚需采用更高效计算方法并结合并行技术另行讨论．
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图 1 三维沉积盆地计算模型
(a)三维视图，图中R为沉积盆地域，E为半空间域，S0为沉积域与基岩半空间域的交界面，S1为沉积内部地表，S2为外部半空间地表；(b)平面投影和竖向剖面；(c)单元网格离散
Figure 1. Calculation model for a three-dimensional alluvial basin
(a)Three-dimensional view. R is the sedimentary basin domain，E is a half-space domain，S0 is the interface between the sedimentary basin domain and bedrock half-space domain，S1 is the surface of sedimentary basin interior，and S2 is the surface of outer half-space;(b)Planar projection and vertical section;(c)Element discretization
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图 2 本文结果与Mossessian和Dravinski(1990)所得地表位移幅值的对比
Figure 2. Surface displacement amplitudes of a hemisphere alluvial valley in half-space for P wave incidence in this paper compared with the results of Mossessian and Dravinski(1990)
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图 4 P波入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地的地表位移幅值云图
(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(浅椭球盆地)：(a1)垂直入射(θ=90°)，(a2)斜入射(θ=60°)(b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(半球沉积盆地);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(深椭球盆地); (d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(较狭长盆地);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(狭长盆地)
Figure 4. The surface displacement amplitude cloud images in alluvial basin with different depth-width ratios S and length-width ratios D for incident P waves
(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(shallow ellipsoid basin)： (a1)Vertical incidence(θ=90°)，(a2)Oblique incidence(θ=60°)(b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(deep ellipsoid basin);(d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(narrow basin)
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图 5 SV波入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地的地表位移幅值云图
(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(浅椭球盆地):(a1)垂直入射(θ=90°)，(a2)斜入射(θ=60°); (b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(半球沉积盆地);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(深椭球盆地); (d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(较狭长盆地);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(狭长盆地)
Figure 5. The surface displacement amplitude cloud images in alluvial basin with different depth-width ratios S and length-width ratios D for incident SV waves
(a)D=1.0，S=0.5，az/ax=0.5(shallow ellipsoid basin):(a1)Vertical incidence(θ=90°)，(a2)Oblique incidence(θ=60°);(b)D=1.0，S=1.0，az/ax=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0，az/ax=2.0(deep ellipsoid basin)(d)D=2.0，S=0.5，ay/ax=2.0(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5，ay/ax=5.0(narrow basin)
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图 6 P波(左)和SV波(右)入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地地表x轴上(y=0)的位移幅值谱
(a)D=1.0，S=0.5(浅椭球盆地)；(b)D=1.0，S=1.0(半球沉积盆地)；(c)D=1.0，S=2.0(深椭球盆地)；(d)D=2.0，S=0.5(较狭长盆地)；(e)D=5.0，S=0.5(狭长盆地)
Figure 6. The displacement amplitude spectrum along x-axis(y=0)in alluvial basins with different depth-width S and length-width ratios D for incident P(left panels)and SV(right panels)waves
(a)D=1.0，S=0.5(shallow ellipsoid basin);(b)D=1.0，S=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0(deep ellipsoid basin);(d)D=2.0，S=0.5(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5(narrow basin)
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图 7 P波(左)和SV波(右)入射下深宽比S=0.5时不同长宽比D沉积盆地地表y轴(x=0)上的位移幅值谱
(a)D=1.0(浅椭球盆地)；(b)D=2.0(较狭长盆地)；(c)D=5.0(狭长盆地)
Figure 7. The displacement amplitude spectrum along y-axis(x=0)in alluvial basins with depth-width ratio S=0.5 and different length-width ratios D for incident P(left panels)and SV(right panels)waves
(a)D=1.0(shallow ellipsoid basin);(b)D=2.0(narrower basin);(c)D=5.0(narrow basin)
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图 8 P波(左)和SV波(右)入射下不同深宽比S、 长宽比D沉积盆地地表在x轴上(y=0)的位移时程(雷克子波型脉冲)
(a)D=1.0，S=0.5(浅椭球盆地)；(b)D=1.0，S=1.0(半球沉积盆地);(c)D=1.0，S=2.0(深椭球盆地);(d)D=2.0，S=0.5(较狭长盆地);(e)D=5.0，S=0.5(狭长盆地)
Figure 8. The surface displacement time history along x-axis(y=0)in alluvial basins with different depth-width ratios S and length-width ratios D for incident P(left panels)and SV waves(right panels)(Ricker pulse)
(a)D=1.0，S=0.5(shallow ellipsoid basin);(b)D=1.0，S=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)D=1.0，S=2.0(deep ellipsoid basin);(d)D=2.0，S=0.5(narrower basin);(e)D=5.0，S=0.5(narrow basin)
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图 9 P波(左)、 SV波(右)入射下，深宽比S=0.5、 不同长宽比D沉积盆地地表y轴上(x=0)的位移时程(雷克型脉冲)
(a)D=1.0(浅椭球盆地)；(b)D=2.0(较狭长盆地);(c)D=5.0(狭长盆地)
Figure 9. The surface displacement time history along y-axis(x=0)in alluvial basins with depth-width ratios S=0.5 and different length-width ratios D for incident P wave (left panels)and SV wave(right panels)(Ricker pulse)
(a)D=1.0(shallow ellipsoid basin);(b)D=2.0(narrower basin);(c)D=5.0(narrow basin)
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图 11 Tar-Tarzana波(SV波)垂直入射下不同深宽比S、 长宽比D三维沉积盆地内部典型点位水平向(y=0)加速度反应谱
Figure 11. Acceleration response spectrum in horizontal direction(y=0)of typical points within the 3D alluvial basins with different depth-width ratio S and length-width ratio D for incident Tar-Tarzana waves with θ=90°
(a)S=0.5，D=1.0;(b)S=1.0，D=1.0;(c)S=0.5，D=2.0
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图 12 SV波入射下沉积盆地地表(y=0)加速度时程(输入Tar-Tarzana地震波)
(a)S=0.5，D=1.0(浅椭球盆地)；(b)S=1.0，D=1.0(半球沉积盆地); (c)S=0.5，D=2.0(较狭长盆地)
Figure 12. The acceleration time histories along x-axis within the alluvial basin for incident SV waves(Tar-Tarzana wave)
(a)S=0.5，D=1.0(shallow ellipsoid basin);(b)S=1.0，D=1.0(hemispheric sedimentary basin);(c)S=0.5，D=2.0(narrower basin)
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