Measurement of surface wave group velocity using wavelet transform
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摘要: 选取了几种常见的小波母函数，分别提取了同一理论下的面波数据的群速度，并与理论群速度进行对比，结果表明Morlet小波提取面波群速度的效果最好.此外，将Morlet小波与常用的多重滤波提取群速度的结果进行了比较，结果表明: ① 多重滤波法非常依赖高斯滤波系数α的取值，α的取值应随面波周期的增大而减小；② 在α取值得当的前提下，在20—35 s周期范围内多重滤波法提取面波群速度的相对误差比Morlet小波小，在周期大于35 s时，两者相对误差相近; ③ 合适的α值的选取需在不同周期段耗费大量时间进行大量试验，这说明多重滤波法不具备自适应性；而采用小波变换分析短周期信号时，时间窗变窄，频率窗变长，当分析长周期信号时，时间窗变长，频率窗变窄，具有对信号的自适应性，这是小波变换相比多重滤波法的最大优点.Abstract: Wavelet transform is proposed to measure surface wave group velocity in this paper. Several common mother wavelets are respectively used to calculate Rayleigh wave group velocities of the same synthetic seismograms, the results are compared with the theoretical group velocities. The comparison results indicate that Morlet wavelet is the most effective one in calculating group velocities. Furthermore, we compare Morlet wavelet transform with the most common used multiple filter technique in calculating group velocity, from which the following conclusions are drawn: ① multiple filter analysis method extremely depends on the value of Gaussain filter parameter α, and smaller value of α should be chosen during long period of surface wave; ② when the value of α is chosen adaptively, multiple filter analysis method is more accurate than Morlet wavelet transform in calculating group velocities when the period of surface wave is between 20 seconds and 35 seconds, while multiple filter analysis method has the similar accuracy with Morlet wavelet transform when the period of surface wave is over 35 seconds; ③ multiple filter analysis method will cost much more time to choose adaptive value of Gaussain filter parameter α for different periods without self-adaptivity to signals; however, wavelet transform can narrow the time window and lengthen the frequency window when analyzing short period signals and lengthen the time window and narrow the frequency window when analyzing long period signals with self-adaptivity to signals, which shows the outstanding advantage of wavelet transform over the multiple filter analysis method.
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Keywords:
- surface wave /
- group velocity /
- wavelet transform /
- Morlet wavelet /
- multiple filter technique
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引言
地震面波层析成像是研究地壳、上地幔结构的有力工具.面波层析成像依赖于面波频散特征，其核心是提取高质量的面波群速度或者相速度. 1969年，Landisman等提出了在时间域内进行的移动窗分析法(Landisman, 1969)，同年Dziewonski等(1969)提出了在频率域上进行的多重滤波法(multiple filter technique，简写为MFT).如果选择高斯滤波器作为移动窗分析法的窗函数，那么移动窗分析法与多重滤波法是等价的.目前，多重滤波法是提取面波群速度最常用的方法(曹小林等，1999；何正勤等，2001；朱介寿等，2002；陈立等，2012；房立华等，2013；王敏玲等，2015).因其频时分辨率与高斯滤波系数的选择密切相关，因此，前人对高斯滤波系数的选择进行了大量的研究：Inston等(1971)提出了最佳带宽滤波；Levshin等(1972)给出了高斯滤波系数的经验选择；Cara(1973)提出了高斯滤波系数的最佳滤波方案；Nyman和Landisman(1977)提出了高斯滤波系数的均等显示方法；Herrmann和Ammon(2004)给出了不同震中距下高斯滤波系数的参考值；Kolínský (2004)给出了高斯滤波系数选择的经验公式；朱良保和熊安丽(2007)通过线性时间分辨方法来选择高斯滤波系数；陈浩朋等(2014)同时考虑高斯滤波系数随震中距和周期的变换，给出了不同震中距下各周期分段的高斯滤波系数参考值.
小波变换克服了多重滤波法中窗口大小不能自动随周期变化的缺点；在分析短周期信号时，其时间窗变窄，频率窗变长，当分析长周期信号时，其时间窗变长，频率窗变窄，具有对信号的自适应性. Wu等(2009)用Morlet小波提取双台相速度，并与传统的窄带通滤波互相关法进行了比较，结果表明Morlet小波效果更优，自此后Morlet小波被应用于面波相速度的层析成像(潘佳铁等，2011；余大新等，2016).本文介绍了小波变换提取面波群速度的原理和步骤，采用Mexican Hat小波、Morlet小波、Daubechies小波和Symlets小波提取同一理论下的面波数据的群速度，并分别与理论群速度进行对比，选取提取效果最好的Morlet小波作为小波母函数；同时，基于理论数据和实际数据，在前人对高斯滤波系数α取值研究的基础上，分别采用3种α值进行多重滤波，并分别与Morlet小波进行详细地对比.
1. 基本原理
1.1 小波变换定义
令ψ(t)∈L2(R)，L2(R)为平方可积的实数空间，R为实数，t为时间.其傅里叶变换为
(1) 称ψ(t)为基本小波或小波母函数.将小波母函数ψ(t)进行伸缩和平移，产生一组小波基函数ψa, b(t)，即
(2) 式中，a为尺度参数，b为位置参数.
设f(t)∈L2(R)，小波变换可定义为
(3) 式中，f(t)为时间域信号，Wf(a, b)为小波系数，“*”为共轭运算.
1.2 利用小波变换提取面波群速度的基本步骤
利用小波变换提取面波群速度频散曲线的基本步骤为：① 挑选高质量的面波数据f(t)进行预处理，包括去倾斜、去均值，并进行带通滤波，带宽为0.008—0.2 Hz；② 对面波数据进行重采样，采样间隔为Δt=1 s；③ 将面波数据f(t)进行希尔伯特变换，构造解析信号z(t)；④ 对于某一周期Ti，计算当前周期Ti下的尺度参数a=f0Ti/Δt (其中f0为小波母函数的中心频率)，将解析信号z(t)代入式(3) 进行小波变换，得到小波变换系数WTi, 其最大幅值对应的时间即为该周期Ti的群速度到达时间，之后根据震中距将到时转换为群速度；⑤ 重复步骤④，直到求出所有待求周期的群速度值.从上述步骤可以看出，当周期Ti减小时，尺度参数a值变小，小波函数的时间窗变窄，而频率窗变长；当周期Ti变大时，尺度参数a值变大，小波函数的时间窗变长，而频率窗变窄，具有对信号的自适应性.
2. 小波母函数的选取
小波分析中使用到的小波母函数ψ(t)不是唯一的，且同一信号用不同的小波母函数分析会得到不同的结果.本文选取几种常见的小波母函数，分别提取同一理论下面波数据的群速度，并与理论群速度进行对比，以此来选择最合适的小波母函数.
2.1 本文使用的小波函数
Mexican Hat小波，简称Mexh小波(图 1a)，为高斯(Gauss)函数的二阶导数，即
(4) Morlet小波是法国地球物理学家Morlet等(1982)在分析地震信号时提出，其一般数学形式为
(5) 式中，f0为小波母函数的中心频率，f0=0.8125. Morlet小波波形如图 1b所示.
Daubechies小波是由Daubechies (1988)构造的，简写为dbN，N为小波阶数，且N=1，2，…，10.当N=1时，便成为Haar小波.除此外，该小波没有明确的解析表达式. db4小波和db8小波的波形分别如图 1c，d所示.
Symlets小波系也是由Daubechies (1990)提出的，简写为symN，且N=2，3，…，8. Symlets小波系近似对称，没有具体的表达式，是对Daubechies小波函数的一种改进. sym4小波和sym8小波的波形分别如图 1e，f所示.
2.2 不同小波函数对比
利用Herrmann和Ammon(2004)的程序包中的地震学程序，采用模态叠加方法计算理论面波数据.选择AK135模型(Kennett et al, 1995)作为地球速度结构模型；地震走向为0°，滑动角为0°，倾角为45°，地震震级为MW6.0，震源深度为20 km，震中距为3000 km，台站方位角为45°；数据采样间隔为1 s，模态叠加选择的模态个数为5.根据以上数据计算理论瑞雷面波数据的垂向分量，结果如图 2所示.
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图 2 理论瑞雷面波垂向分量波形(a)和振幅谱(b)Figure 2. Vertical component synthetic seismogram of Rayleigh wave (a) and its amplitude spectra (b)将理论面波数据进行希尔伯特变换，构造解析信号，分别采用上述几种常见的小波母函数提取理论面波数据的群速度，并分别与理论群速度进行对比(图 3).结合不同小波母函数提取面波群速度的相对误差(图 4)可知，Morlet小波提取群速度的相对误差远小于其它几种小波提取群速度的相对误差，因此本文选取Morlet小波作为小波母函数.
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图 3 不同小波母函数提取的面波群速度与理论群速度对比Figure 3. Comparison between surface wave group velocities obtained from different wavelet generating functions with theoretical values![]()
图 4 不同小波母函数提取面波群速度的相对误差Figure 4. Relative errors of surface wave group velocities obtained from different wavelet generating functions3. Morlet小波与多重滤波法对比
多重滤波法是目前提取面波群速度最常用的方法.多重滤波法的基本原理是对地震面波数据在频率域用中心角频率为ωn的高斯无相移带通滤波器进行滤波，然后经傅里叶反变换到时间域，最大振幅的到时即为该频率群速度波包的到时.
(6) 式中，Hn(ω)为高斯滤波器的频率响应，α为高斯滤波系数，ω为角频率，ωn为中心角频率，ωln为下限中心角频率，ωun为上限中心角频率.
在多重滤波法中，高斯滤波系数α的取值对面波群速度的计算影响非常大.本文分别采用3种不同的α取值对图 2中的理论面波数据进行多重滤波，并分别与Morlet小波提取结果进行对比.根据Morlet小波和多重滤波提取面波群速度与理论面波群速度对比(图 5)及其相对误差(图 6)可知：第一种α取值为α取常相对带宽50.3时(Dziewonski et al, 1969；周青云等，2006)(图 5b)，在20—35 s周期范围内，多重滤波法提取群速度的相对误差比Morlet小波小，但在35—220 s周期范围内多重滤波法提取群速度的相对误差曲线出现明显起伏，呈锯齿状，且有7处峰值段比Morlet小波提取群速度的相对误差大(图 6)；第二种α取值为α取75时(Herrman, Ammon, 2004)(图 5c)，在20—35 s周期范围内多重滤波法提取群速度的相对误差比Morlet小波小，但在35—220 s周期范围内多重滤波法提取群速度的相对误差曲线出现更明显的起伏，呈锯齿状，且有8处峰值段比Morlet小波提取群速度的相对误差大(图 6)；在陈浩朋等(2014)给出的高斯滤波系数α参考值的基础上进行了适当调整，第三种α取值为当T≤45 s时α取50，当T>45 s时α取12.5(图 5d).在20—35 s周期范围内多重滤波法提取群速度的相对误差比Morlet小波小，在T>35 s时，两者的相对误差相近，具体表现为：在35—70 s和160—220 s周期范围内多重滤波法提取群速度的相对误差比Morlet小波提取群速度的相对误差略大，在70—160 s周期范围内多重滤波法提取群速度的相对误差与Morlet小波相近(图 6).
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图 5 Morlet小波和多重滤波提取面波群速度与理论面波群速度对比Figure 5. Comparison between surface wave group velocities obtained from Morlet wavelet transform and multiple filter technique with theoretical values![]()
图 6 Morlet小波和多重滤波法提取面波群速度的相对误差Figure 6. Relative errors of surface wave group velocities obtained by Morlet wavelet transform and multiple filter technique综上所述，当T < 45 s时，3种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差相近，但当T>45 s时，3种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差相差较大，α=75时的多重滤波提取群速度的相对误差最大，α=50.3时的多重滤波提取群速度的相对误差次之，α=12.5时的多重滤波提取群速度的相对误差最小，这充分说明多重滤波法非常依赖α的取值，且α的取值与周期有关，长周期下α取值应减小，以便减小误差.在20—35 s周期范围内，3种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差均小于Morlet小波，在35—220 s周期范围内，前两种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差均比Morlet小波提取群速度的相对误差大，而第三种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差与Morlet小波整体接近，这说明在α取值得当的前提下，在20—35 s周期范围内多重滤波法的相对误差比Morlet小波小，在T>35 s时，两者的相对误差整体接近.但是，若想在多重滤波法中α取得适当的值，就必须进行大量试验，在不同周期段人为选择相适应的α值，也就是说，多重滤波法不具备自适应性，而小波变换是自适应的.
4. 实际数据处理
本文使用南岭西部地区流动台阵的第一期观测数据作为试验数据，检验Morlet小波提取面波群速度的效果，并与多重滤波进行比较.采用Eentec宽频带地震仪采集天然地震面波数据.我国南岭西部地区某台站记录到某个远震事件的面波数据如图 7所示.该地震事件位于日本海域，震中为(144.68°E，37.17°N)，震源深度为25.67 km，震级为MW7.1，发震时刻为国际标准时间2013年10月25日17时10分18秒，震中距为31.91°.在前人对α取值研究的基础上，本文分别采用3种不同的α取值对图 7中的实际面波数据进行多重滤波，并分别与Morlet小波提取结果进行对比. 图 8a为Morlet小波提取结果；图 8b为α取常相对带宽50.3时多重滤波的提取结果(Dziewonski et al, 1969；周青云等，2006)，结果显示长周期段(T>50 s)群速度出现起伏; 图 8c为α取75时多重滤波的提取结果(Herrman, Ammon, 2004)，长周期段(T>50 s)群速度也出现起伏，且起伏幅度更大; 在陈浩朋等(2014)给出的高斯滤波系数α的参考值上进行适当调整，当T≤35 s时α取50，当T>35 s时α取12.5，其提取结果见图 8d，长周期段(T>50 s)多重滤波提取的群速度未出现起伏，比前两种α取值下的提取结果更可靠，这充分说明多重滤波法非常依赖α的取值，且长周期段α取值应减小.在短周期段(T < 35 s)，3种α取值下的多重滤波提取的群速度基本一致，但与Morlet小波提取的群速度有细微差别，结合第三节的对比结果，3种α取值下的多重滤波提取的群速度比Morlet小波更可靠.在长周期段，第三种α取值下的多重滤波提取的群速度与Morlet小波相近，比前两种α取值下的多重滤波更可靠.
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图 7 南岭西部地区某台站记录到的MW7.1地震垂直分量瑞雷面波波形(a)和振幅谱(b)Figure 7. Vertical component seismogram of Rayleigh wave (a) and its amplitude spectra (b) of MW7.1 earthquake recordod by one station in western Nanling region![]()
图 8 多重滤波法和Morlet小波提取南岭西部地区某台站的面波群速度Figure 8. Surface wave group velocities of one station in western Nanling region obtained from multiple filter technique and Morlet wavelet transform5. 讨论与结论
本文采用小波变换方法提取面波群速度，对几种常见的小波母函数提取方法进行了对比，对比结果表明：在Mexican Hat小波、Morlet小波、Daubechies小波和Symlets小波这4种常见的小波中，Morlet小波提取面波群速度的误差最小.但小波的种类很多，今后有必要开展其它小波(如Meyer正交小波等)的对比研究.
多重滤波法是目前提取面波群速度最常用的方法.本文采用Dziewonski等(1969)、Herrma和Ammon(2004)、陈浩朋等(2014)分别提出的3种取值对同一理论面波数据进行多重滤波，并与连续小波变换进行对比，得到以下结论：
1) 当T < 45 s时，3种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差相近，但当T>45 s时，3种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差相差较大，α=75时的多重滤波提取群速度的相对误差最大，α=50.3时的多重滤波提取群速度的相对误差次之，α=12.5时的多重滤波提取群速度的相对误差最小，这充分说明多重滤波法非常依赖α的取值，而且α的取值和周期有关，长周期下α取值应减小，以便减小群速度的计算误差；
2) 在20—35 s周期范围内，3种α取值下的多重滤波提取群速度的相对误差均小于Morlet小波，在35—220 s周期范围内，α=50.3, 75时的多重滤波提取群速度的相对误差均比Morlet小波提取群速度的相对误差大，α=12.5时的多重滤波提取群速度的相对误差与Morlet小波相近.这说明在α取值得当的前提下，在20—35 s周期范围内多重滤波法的相对误差比Morlet小波小，在周期大于35 s时，两者相对误差整体接近；
3) 多重滤波法非常依赖α的取值，在不同周期段需耗费大量时间进行繁复的试验以选取合适的α值，这说明多重滤波法不具备自适应性；而小波变换在分析短周期信号时，时间窗变窄，频率窗变长，当分析长周期信号时，时间窗变长，频率窗变窄，具有对信号的自适应性，这是小波变换相比多重滤波法最大的优点.
中国科学院测量与地球物理研究所陈浩朋博士提供了地震面波理论数据，美国圣路易斯大学Robert B Herrmann教授和美国宾夕法尼亚州立大学Charles J Ammon副教授提供了本研究使用的地震学程序包，作者在此一并表示衷心的感谢.
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图 2 理论瑞雷面波垂向分量波形(a)和振幅谱(b)
Figure 2. Vertical component synthetic seismogram of Rayleigh wave (a) and its amplitude spectra (b)
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图 3 不同小波母函数提取的面波群速度与理论群速度对比
Figure 3. Comparison between surface wave group velocities obtained from different wavelet generating functions with theoretical values
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图 4 不同小波母函数提取面波群速度的相对误差
Figure 4. Relative errors of surface wave group velocities obtained from different wavelet generating functions
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图 5 Morlet小波和多重滤波提取面波群速度与理论面波群速度对比
Figure 5. Comparison between surface wave group velocities obtained from Morlet wavelet transform and multiple filter technique with theoretical values
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图 6 Morlet小波和多重滤波法提取面波群速度的相对误差
Figure 6. Relative errors of surface wave group velocities obtained by Morlet wavelet transform and multiple filter technique
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图 7 南岭西部地区某台站记录到的MW7.1地震垂直分量瑞雷面波波形(a)和振幅谱(b)
Figure 7. Vertical component seismogram of Rayleigh wave (a) and its amplitude spectra (b) of MW7.1 earthquake recordod by one station in western Nanling region
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